Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16492 / 16555
↖ ↑ ↗
← S  1.878326°
E  1.186523°		 ← 1 220.98 m → S  1.878326°
E  1.197510°		 →
↑
1 220.94 m
↓
↑
1 220.94 m
↓
S  1.889306°
E  1.186523°		 ← 1 220.98 m →
1 490 740 m²		 S  1.889306°
E  1.197510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503311157226562 y=0.505233764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503311157226562 × 215)
    floor (0.503311157226562 × 32768)
    floor (16492.5)     		tx = 16492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505233764648438 × 215)
    floor (0.505233764648438 × 32768)
    floor (16555.5)     		ty = 16555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16492 / 16555 ti = "15/16492/16555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16492/16555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16492 ÷ 215
    16492 ÷ 32768     		x = 0.5032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16555 ÷ 215
    16555 ÷ 32768     		y = 0.505218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5032958984375 × 2 - 1) × π
    0.006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02070874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0327888393401184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02070874} λ = 0.02070874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0327888393401184))-π/2
    2×atan(0.967742887241957)-π/2
    2×0.769006680566652-π/2
    1.5380133611333-1.57079632675     		φ = -0.03278297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02070874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03278297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.878326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16492 KachelY 16555 0.02070874 -0.03278297 1.186523 -1.878326
    Oben rechts KachelX + 1 16493 KachelY 16555 0.02090049 -0.03278297 1.197510 -1.878326
    Unten links KachelX 16492 KachelY + 1 16556 0.02070874 -0.03297461 1.186523 -1.889306
    Unten rechts KachelX + 1 16493 KachelY + 1 16556 0.02090049 -0.03297461 1.197510 -1.889306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03278297--0.03297461) × R
    0.00019164 × 6371000     		dl = 1220.93844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03278297--0.03297461) × R
    0.00019164 × 6371000     		dr = 1220.93844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02070874-0.02090049) × cos(-0.03278297) × R
    0.000191750000000001 × 0.999462686563507 × 6371000     		do = 1220.98284681643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02070874-0.02090049) × cos(-0.03297461) × R
    0.000191750000000001 × 0.999456386807366 × 6371000     		du = 1220.97515078707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03278297)-sin(-0.03297461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999462686563507-0.999456386807366)×R²
    abs(0.02090049-0.02070874)×6.29975614108158e-06×R²
    0.000191750000000001×6.29975614108158e-06×6371000²
    0.000191750000000001×6.29975614108158e-06×40589641000000     		ar = 1490740.19863221m²