Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16491 / 16558
↖ ↑ ↗
← S  1.911266°
E  1.175537°		 ← 1 220.96 m → S  1.911266°
E  1.186523°		 →
↑
1 220.94 m
↓
↑
1 220.94 m
↓
S  1.922246°
E  1.175537°		 ← 1 220.95 m →
1 490 712 m²		 S  1.922246°
E  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503280639648438 y=0.505325317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503280639648438 × 215)
    floor (0.503280639648438 × 32768)
    floor (16491.5)     		tx = 16491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505325317382812 × 215)
    floor (0.505325317382812 × 32768)
    floor (16558.5)     		ty = 16558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16491 / 16558 ti = "15/16491/16558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16491/16558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16491 ÷ 215
    16491 ÷ 32768     		x = 0.503265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16558 ÷ 215
    16558 ÷ 32768     		y = 0.50531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503265380859375 × 2 - 1) × π
    0.00653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02051699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.0106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0333640821355591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02051699} λ = 0.02051699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0333640821355591))-π/2
    2×atan(0.967186360202664)-π/2
    2×0.768719216437615-π/2
    1.53743843287523-1.57079632675     		φ = -0.03335789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02051699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03335789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.911266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16491 KachelY 16558 0.02051699 -0.03335789 1.175537 -1.911266
    Oben rechts KachelX + 1 16492 KachelY 16558 0.02070874 -0.03335789 1.186523 -1.911266
    Unten links KachelX 16491 KachelY + 1 16559 0.02051699 -0.03354953 1.175537 -1.922246
    Unten rechts KachelX + 1 16492 KachelY + 1 16559 0.02070874 -0.03354953 1.186523 -1.922246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03335789--0.03354953) × R
    0.00019164 × 6371000     		dl = 1220.93844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03335789--0.03354953) × R
    0.00019164 × 6371000     		dr = 1220.93844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02051699-0.02070874) × cos(-0.03335789) × R
    0.000191750000000001 × 0.999443677177542 × 6371000     		do = 1220.95962420442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02051699-0.02070874) × cos(-0.03354953) × R
    0.000191750000000001 × 0.999437267304325 × 6371000     		du = 1220.95179365171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03335789)-sin(-0.03354953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999443677177542-0.999437267304325)×R²
    abs(0.02070874-0.02051699)×6.40987321609554e-06×R²
    0.000191750000000001×6.40987321609554e-06×6371000²
    0.000191750000000001×6.40987321609554e-06×40589641000000     		ar = 1490711.76312998m²