Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16490 / 16557
↖ ↑ ↗
← S  1.900286°
E  1.164551°		 ← 1 220.90 m → S  1.900286°
E  1.175537°		 →
↑
1 220.94 m
↓
↑
1 220.94 m
↓
S  1.911266°
E  1.164551°		 ← 1 220.90 m →
1 490 644 m²		 S  1.911266°
E  1.175537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503250122070312 y=0.505294799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503250122070312 × 215)
    floor (0.503250122070312 × 32768)
    floor (16490.5)     		tx = 16490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505294799804688 × 215)
    floor (0.505294799804688 × 32768)
    floor (16557.5)     		ty = 16557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16490 / 16557 ti = "15/16490/16557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16490/16557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16490 ÷ 215
    16490 ÷ 32768     		x = 0.50323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16557 ÷ 215
    16557 ÷ 32768     		y = 0.505279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50323486328125 × 2 - 1) × π
    0.0064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02032525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.01055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0331723345370789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02032525} λ = 0.02032525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0331723345370789))-π/2
    2×atan(0.967371833645991)-π/2
    2×0.768815037205866-π/2
    1.53763007441173-1.57079632675     		φ = -0.03316625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02032525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03316625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.900286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16490 KachelY 16557 0.02032525 -0.03316625 1.164551 -1.900286
    Oben rechts KachelX + 1 16491 KachelY 16557 0.02051699 -0.03316625 1.175537 -1.900286
    Unten links KachelX 16490 KachelY + 1 16558 0.02032525 -0.03335789 1.164551 -1.911266
    Unten rechts KachelX + 1 16491 KachelY + 1 16558 0.02051699 -0.03335789 1.175537 -1.911266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03316625--0.03335789) × R
    0.00019164 × 6371000     		dl = 1220.93844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03316625--0.03335789) × R
    0.00019164 × 6371000     		dr = 1220.93844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02032525-0.02051699) × cos(-0.03316625) × R
    0.000191739999999999 × 0.9994500503453 × 6371000     		do = 1220.90373495358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02032525-0.02051699) × cos(-0.03335789) × R
    0.000191739999999999 × 0.999443677177542 × 6371000     		du = 1220.89594964774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03316625)-sin(-0.03335789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9994500503453-0.999443677177542)×R²
    abs(0.02051699-0.02032525)×6.37316775797814e-06×R²
    0.000191739999999999×6.37316775797814e-06×6371000²
    0.000191739999999999×6.37316775797814e-06×40589641000000     		ar = 1490643.55341696m²