Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16490 / 15846
↖ ↑ ↗
← N 79.445459°
W134.708862°		 ← 55.95 m → N 79.445459°
W134.706116°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.444956°
W134.708862°		 ← 55.95 m →
3 130 m²		 N 79.444956°
W134.706116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125812530517578 y=0.120899200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125812530517578 × 217)
    floor (0.125812530517578 × 131072)
    floor (16490.5)     		tx = 16490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120899200439453 × 217)
    floor (0.120899200439453 × 131072)
    floor (15846.5)     		ty = 15846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16490 / 15846 ti = "17/16490/15846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16490/15846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16490 ÷ 217
    16490 ÷ 131072     		x = 0.125808715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15846 ÷ 217
    15846 ÷ 131072     		y = 0.120895385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125808715820312 × 2 - 1) × π
    -0.748382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35111318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120895385742188 × 2 - 1) × π
    0.758209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38198454212059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35111318} λ = -2.35111318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38198454212059))-π/2
    2×atan(10.8263669399105)-π/2
    2×1.47869058326511-π/2
    2.95738116653021-1.57079632675     		φ = 1.38658484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35111318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.708862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38658484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.445459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16490 KachelY 15846 -2.35111318 1.38658484 -134.708862 79.445459
    Oben rechts KachelX + 1 16491 KachelY 15846 -2.35106524 1.38658484 -134.706116 79.445459
    Unten links KachelX 16490 KachelY + 1 15847 -2.35111318 1.38657606 -134.708862 79.444956
    Unten rechts KachelX + 1 16491 KachelY + 1 15847 -2.35106524 1.38657606 -134.706116 79.444956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38658484-1.38657606) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38658484-1.38657606) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35111318--2.35106524) × cos(1.38658484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183171418210302 × 6371000     		do = 55.9452659536942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35111318--2.35106524) × cos(1.38657606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183180049654328 × 6371000     		du = 55.9479022188731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38658484)-sin(1.38657606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183171418210302-0.183180049654328)×R²
    abs(-2.35106524--2.35111318)×8.6314440257973e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.6314440257973e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.6314440257973e-06×40589641000000     		ar = 3129.50533374927m²