Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1649 / 815
↖ ↑ ↗
← N 34.452219°
E109.863281°		 ← 16.118 km → N 34.452219°
E110.039063°		 →
↑
16.132 km
↓
↑
16.132 km
↓
N 34.307144°
E109.863281°		 ← 16.146 km →
260.228 km²		 N 34.307144°
E110.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805419921875 y=0.398193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805419921875 × 211)
    floor (0.805419921875 × 2048)
    floor (1649.5)     		tx = 1649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398193359375 × 211)
    floor (0.398193359375 × 2048)
    floor (815.5)     		ty = 815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1649 / 815 ti = "11/1649/815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1649/815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1649 ÷ 211
    1649 ÷ 2048     		x = 0.80517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 815 ÷ 211
    815 ÷ 2048     		y = 0.39794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80517578125 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91747598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39794921875 × 2 - 1) × π
    0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91747598} λ = 1.91747598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641203969317871))-π/2
    2×atan(1.89876555916181)-π/2
    2×1.08605048687351-π/2
    2.17210097374702-1.57079632675     		φ = 0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91747598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1649 KachelY 815 1.91747598 0.60130465 109.863281 34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 1650 KachelY 815 1.92054395 0.60130465 110.039063 34.452219
    Unten links KachelX 1649 KachelY + 1 816 1.91747598 0.59877262 109.863281 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 1650 KachelY + 1 816 1.92054395 0.59877262 110.039063 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60130465-0.59877262) × R
    0.00253203000000002 × 6371000     		dl = 16131.5631300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60130465-0.59877262) × R
    0.00253203000000002 × 6371000     		dr = 16131.5631300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91747598-1.92054395) × cos(0.60130465) × R
    0.00306797000000003 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 16117.6278347544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91747598-1.92054395) × cos(0.59877262) × R
    0.00306797000000003 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 16145.574211712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60130465)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.826028023946516)×R²
    abs(1.92054395-1.91747598)×0.00142977203734429×R²
    0.00306797000000003×0.00142977203734429×6371000²
    0.00306797000000003×0.00142977203734429×40589641000000     		ar = 260228079.32494m²