Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1649 / 353
↖ ↑ ↗
← N 81.505299°
W 35.068359°		 ← 1 443.65 m → N 81.505299°
W 34.980469°		 →
↑
1 444.75 m
↓
↑
1 444.75 m
↓
N 81.492306°
W 35.068359°		 ← 1 445.84 m →
2 087 293 m²		 N 81.492306°
W 34.980469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4027099609375 y=0.0863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4027099609375 × 212)
    floor (0.4027099609375 × 4096)
    floor (1649.5)     		tx = 1649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0863037109375 × 212)
    floor (0.0863037109375 × 4096)
    floor (353.5)     		ty = 353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1649 / 353 ti = "12/1649/353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1649/353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1649 ÷ 212
    1649 ÷ 4096     		x = 0.402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 353 ÷ 212
    353 ÷ 4096     		y = 0.086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.19482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61205833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086181640625 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60009743539185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61205833} λ = -0.61205833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60009743539185))-π/2
    2×atan(13.465049943505)-π/2
    2×1.49666607343949-π/2
    2.99333214687897-1.57079632675     		φ = 1.42253582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61205833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.068359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42253582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.505299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1649 KachelY 353 -0.61205833 1.42253582 -35.068359 81.505299
    Oben rechts KachelX + 1 1650 KachelY 353 -0.61052435 1.42253582 -34.980469 81.505299
    Unten links KachelX 1649 KachelY + 1 354 -0.61205833 1.42230905 -35.068359 81.492306
    Unten rechts KachelX + 1 1650 KachelY + 1 354 -0.61052435 1.42230905 -34.980469 81.492306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42253582-1.42230905) × R
    0.000226770000000043 × 6371000     		dl = 1444.75167000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42253582-1.42230905) × R
    0.000226770000000043 × 6371000     		dr = 1444.75167000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61205833--0.61052435) × cos(1.42253582) × R
    0.00153397999999993 × 0.147717946681884 × 6371000     		do = 1443.64551054715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61205833--0.61052435) × cos(1.42230905) × R
    0.00153397999999993 × 0.147942225107967 × 6371000     		du = 1445.83738059544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42253582)-sin(1.42230905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147717946681884-0.147942225107967)×R²
    abs(-0.61052435--0.61205833)×0.000224278426083191×R²
    0.00153397999999993×0.000224278426083191×6371000²
    0.00153397999999993×0.000224278426083191×40589641000000     		ar = 2087292.62514777m²