Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1649 / 1515
↖ ↑ ↗
← S 64.997939°
E109.863281°		 ← 8 261.15 m → S 64.997939°
E110.039063°		 →
↑
8 249.62 m
↓
↑
8 249.62 m
↓
S 65.072130°
E109.863281°		 ← 8 238.20 m →
68 056 682 m²		 S 65.072130°
E110.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805419921875 y=0.739990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805419921875 × 211)
    floor (0.805419921875 × 2048)
    floor (1649.5)     		tx = 1649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739990234375 × 211)
    floor (0.739990234375 × 2048)
    floor (1515.5)     		ty = 1515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1649 / 1515 ti = "11/1649/1515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1649/1515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1649 ÷ 211
    1649 ÷ 2048     		x = 0.80517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1515 ÷ 211
    1515 ÷ 2048     		y = 0.73974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80517578125 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91747598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50636913366064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91747598} λ = 1.91747598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50636913366064))-π/2
    2×atan(0.221713530475488)-π/2
    2×0.218184140375644-π/2
    0.436368280751288-1.57079632675     		φ = -1.13442805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91747598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13442805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.997939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1649 KachelY 1515 1.91747598 -1.13442805 109.863281 -64.997939
    Oben rechts KachelX + 1 1650 KachelY 1515 1.92054395 -1.13442805 110.039063 -64.997939
    Unten links KachelX 1649 KachelY + 1 1516 1.91747598 -1.13572292 109.863281 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 1650 KachelY + 1 1516 1.92054395 -1.13572292 110.039063 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13442805--1.13572292) × R
    0.00129487000000017 × 6371000     		dl = 8249.61677000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13442805--1.13572292) × R
    0.00129487000000017 × 6371000     		dr = 8249.61677000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91747598-1.92054395) × cos(-1.13442805) × R
    0.00306797000000003 × 0.422650855736037 × 6371000     		do = 8261.14920935372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91747598-1.92054395) × cos(-1.13572292) × R
    0.00306797000000003 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 8238.20440826658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13442805)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422650855736037-0.421476970654384)×R²
    abs(1.92054395-1.91747598)×0.00117388508165334×R²
    0.00306797000000003×0.00117388508165334×6371000²
    0.00306797000000003×0.00117388508165334×40589641000000     		ar = 68056681.6582058m²