Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16489 / 8041
↖ ↑ ↗
← N 67.165692°
E  1.153565°		 ← 474.08 m → N 67.165692°
E  1.164551°		 →
↑
474.13 m
↓
↑
474.13 m
↓
N 67.161428°
E  1.153565°		 ← 474.16 m →
224 795 m²		 N 67.161428°
E  1.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503219604492188 y=0.245407104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503219604492188 × 215)
    floor (0.503219604492188 × 32768)
    floor (16489.5)     		tx = 16489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245407104492188 × 215)
    floor (0.245407104492188 × 32768)
    floor (8041.5)     		ty = 8041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16489 / 8041 ti = "15/16489/8041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16489/8041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16489 ÷ 215
    16489 ÷ 32768     		x = 0.503204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8041 ÷ 215
    8041 ÷ 32768     		y = 0.245391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503204345703125 × 2 - 1) × π
    0.00640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02013350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245391845703125 × 2 - 1) × π
    0.50921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59975021412051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02013350} λ = 0.02013350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59975021412051))-π/2
    2×atan(4.95179538133924)-π/2
    2×1.37152939749723-π/2
    2.74305879499445-1.57079632675     		φ = 1.17226247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02013350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.153565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17226247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.165692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16489 KachelY 8041 0.02013350 1.17226247 1.153565 67.165692
    Oben rechts KachelX + 1 16490 KachelY 8041 0.02032525 1.17226247 1.164551 67.165692
    Unten links KachelX 16489 KachelY + 1 8042 0.02013350 1.17218805 1.153565 67.161428
    Unten rechts KachelX + 1 16490 KachelY + 1 8042 0.02032525 1.17218805 1.164551 67.161428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17226247-1.17218805) × R
    7.44200000000195e-05 × 6371000     		dl = 474.129820000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17226247-1.17218805) × R
    7.44200000000195e-05 × 6371000     		dr = 474.129820000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02013350-0.02032525) × cos(1.17226247) × R
    0.000191750000000001 × 0.388067516932541 × 6371000     		do = 474.078510334835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02013350-0.02032525) × cos(1.17218805) × R
    0.000191750000000001 × 0.388136103632923 × 6371000     		du = 474.162298540049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17226247)-sin(1.17218805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388067516932541-0.388136103632923)×R²
    abs(0.02032525-0.02013350)×6.85867003814566e-05×R²
    0.000191750000000001×6.85867003814566e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.85867003814566e-05×40589641000000     		ar = 224794.622117432m²