Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16488 / 16216
↖ ↑ ↗
← N  1.845384°
E  1.142578°		 ← 1 221.01 m → N  1.845384°
E  1.153565°		 →
↑
1 221 m
↓
↑
1 221 m
↓
N  1.834403°
E  1.142578°		 ← 1 221.01 m →
1 490 855 m²		 N  1.834403°
E  1.153565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503189086914062 y=0.494888305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503189086914062 × 215)
    floor (0.503189086914062 × 32768)
    floor (16488.5)     		tx = 16488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494888305664062 × 215)
    floor (0.494888305664062 × 32768)
    floor (16216.5)     		ty = 16216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16488 / 16216 ti = "15/16488/16216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16488/16216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16488 ÷ 215
    16488 ÷ 32768     		x = 0.503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16216 ÷ 215
    16216 ÷ 32768     		y = 0.494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503173828125 × 2 - 1) × π
    0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    0.01025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0322135965446777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01994175} λ = 0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0322135965446777))-π/2
    2×atan(1.03273807103177)-π/2
    2×0.801502176679082-π/2
    1.60300435335816-1.57079632675     		φ = 0.03220803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03220803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.845384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16488 KachelY 16216 0.01994175 0.03220803 1.142578 1.845384
    Oben rechts KachelX + 1 16489 KachelY 16216 0.02013350 0.03220803 1.153565 1.845384
    Unten links KachelX 16488 KachelY + 1 16217 0.01994175 0.03201638 1.142578 1.834403
    Unten rechts KachelX + 1 16489 KachelY + 1 16217 0.02013350 0.03201638 1.153565 1.834403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03220803-0.03201638) × R
    0.000191650000000002 × 6371000     		dl = 1221.00215000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03220803-0.03201638) × R
    0.000191650000000002 × 6371000     		dr = 1221.00215000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01994175-0.02013350) × cos(0.03220803) × R
    0.000191749999999997 × 0.999481366238124 × 6371000     		do = 1221.0056666401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01994175-0.02013350) × cos(0.03201638) × R
    0.000191749999999997 × 0.999487519484544 × 6371000     		du = 1221.01318368744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03220803)-sin(0.03201638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999481366238124-0.999487519484544)×R²
    abs(0.02013350-0.01994175)×6.15324642005977e-06×R²
    0.000191749999999997×6.15324642005977e-06×6371000²
    0.000191749999999997×6.15324642005977e-06×40589641000000     		ar = 1490855.13785845m²