Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16487 / 16214
↖ ↑ ↗
← N  1.867345°
E  1.131592°		 ← 1 220.99 m → N  1.867345°
E  1.142578°		 →
↑
1 221 m
↓
↑
1 221 m
↓
N  1.856364°
E  1.131592°		 ← 1 221 m →
1 490 837 m²		 N  1.856364°
E  1.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503158569335938 y=0.494827270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503158569335938 × 215)
    floor (0.503158569335938 × 32768)
    floor (16487.5)     		tx = 16487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494827270507812 × 215)
    floor (0.494827270507812 × 32768)
    floor (16214.5)     		ty = 16214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16487 / 16214 ti = "15/16487/16214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16487/16214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16487 ÷ 215
    16487 ÷ 32768     		x = 0.503143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16214 ÷ 215
    16214 ÷ 32768     		y = 0.49481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503143310546875 × 2 - 1) × π
    0.00628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01975000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49481201171875 × 2 - 1) × π
    0.0103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0325970917416382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01975000} λ = 0.01975000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0325970917416382))-π/2
    2×atan(1.03313419707309)-π/2
    2×0.801693823642739-π/2
    1.60338764728548-1.57079632675     		φ = 0.03259132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01975000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.131592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03259132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.867345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16487 KachelY 16214 0.01975000 0.03259132 1.131592 1.867345
    Oben rechts KachelX + 1 16488 KachelY 16214 0.01994175 0.03259132 1.142578 1.867345
    Unten links KachelX 16487 KachelY + 1 16215 0.01975000 0.03239967 1.131592 1.856364
    Unten rechts KachelX + 1 16488 KachelY + 1 16215 0.01994175 0.03239967 1.142578 1.856364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03259132-0.03239967) × R
    0.000191650000000002 × 6371000     		dl = 1221.00215000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03259132-0.03239967) × R
    0.000191650000000002 × 6371000     		dr = 1221.00215000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01975000-0.01994175) × cos(0.03259132) × R
    0.000191750000000001 × 0.999468949939347 × 6371000     		do = 1220.9904984022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01975000-0.01994175) × cos(0.03239967) × R
    0.000191750000000001 × 0.999475176604971 × 6371000     		du = 1220.99810514132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03259132)-sin(0.03239967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999468949939347-0.999475176604971)×R²
    abs(0.01994175-0.01975000)×6.22666562355434e-06×R²
    0.000191750000000001×6.22666562355434e-06×6371000²
    0.000191750000000001×6.22666562355434e-06×40589641000000     		ar = 1490836.67216425m²