Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16486 / 9254
↖ ↑ ↗
← N 61.407236°
E  1.120606°		 ← 584.62 m → N 61.407236°
E  1.131592°		 →
↑
584.73 m
↓
↑
584.73 m
↓
N 61.401978°
E  1.120606°		 ← 584.72 m →
341 875 m²		 N 61.401978°
E  1.131592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503128051757812 y=0.282424926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503128051757812 × 215)
    floor (0.503128051757812 × 32768)
    floor (16486.5)     		tx = 16486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282424926757812 × 215)
    floor (0.282424926757812 × 32768)
    floor (9254.5)     		ty = 9254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16486 / 9254 ti = "15/16486/9254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16486/9254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16486 ÷ 215
    16486 ÷ 32768     		x = 0.50311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9254 ÷ 215
    9254 ÷ 32768     		y = 0.28240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50311279296875 × 2 - 1) × π
    0.0062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01955826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28240966796875 × 2 - 1) × π
    0.4351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.367160377164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01955826} λ = 0.01955826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.367160377164))-π/2
    2×atan(3.92419163502777)-π/2
    2×1.32127739271896-π/2
    2.64255478543793-1.57079632675     		φ = 1.07175846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01955826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07175846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.407236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16486 KachelY 9254 0.01955826 1.07175846 1.120606 61.407236
    Oben rechts KachelX + 1 16487 KachelY 9254 0.01975000 1.07175846 1.131592 61.407236
    Unten links KachelX 16486 KachelY + 1 9255 0.01955826 1.07166668 1.120606 61.401978
    Unten rechts KachelX + 1 16487 KachelY + 1 9255 0.01975000 1.07166668 1.131592 61.401978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07175846-1.07166668) × R
    9.17799999999858e-05 × 6371000     		dl = 584.730379999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07175846-1.07166668) × R
    9.17799999999858e-05 × 6371000     		dr = 584.730379999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01955826-0.01975000) × cos(1.07175846) × R
    0.000191739999999999 × 0.478580965509292 × 6371000     		do = 584.622801375732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01955826-0.01975000) × cos(1.07166668) × R
    0.000191739999999999 × 0.478661550319216 × 6371000     		du = 584.721241808431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07175846)-sin(1.07166668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478580965509292-0.478661550319216)×R²
    abs(0.01975000-0.01955826)×8.0584809924289e-05×R²
    0.000191739999999999×8.0584809924289e-05×6371000²
    0.000191739999999999×8.0584809924289e-05×40589641000000     		ar = 341875.493601225m²