Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16485 / 9261
↖ ↑ ↗
← N 61.370410°
E  1.109619°		 ← 585.34 m → N 61.370410°
E  1.120606°		 →
↑
585.37 m
↓
↑
585.37 m
↓
N 61.365145°
E  1.109619°		 ← 585.44 m →
342 669 m²		 N 61.365145°
E  1.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503097534179688 y=0.282638549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503097534179688 × 215)
    floor (0.503097534179688 × 32768)
    floor (16485.5)     		tx = 16485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282638549804688 × 215)
    floor (0.282638549804688 × 32768)
    floor (9261.5)     		ty = 9261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16485 / 9261 ti = "15/16485/9261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16485/9261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16485 ÷ 215
    16485 ÷ 32768     		x = 0.503082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9261 ÷ 215
    9261 ÷ 32768     		y = 0.282623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503082275390625 × 2 - 1) × π
    0.00616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01936651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282623291015625 × 2 - 1) × π
    0.43475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36581814397464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01936651} λ = 0.01936651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36581814397464))-π/2
    2×atan(3.91892798808487)-π/2
    2×1.32095601977434-π/2
    2.64191203954868-1.57079632675     		φ = 1.07111571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01936651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07111571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.370410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16485 KachelY 9261 0.01936651 1.07111571 1.109619 61.370410
    Oben rechts KachelX + 1 16486 KachelY 9261 0.01955826 1.07111571 1.120606 61.370410
    Unten links KachelX 16485 KachelY + 1 9262 0.01936651 1.07102383 1.109619 61.365145
    Unten rechts KachelX + 1 16486 KachelY + 1 9262 0.01955826 1.07102383 1.120606 61.365145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07111571-1.07102383) × R
    9.18800000000441e-05 × 6371000     		dl = 585.367480000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07111571-1.07102383) × R
    9.18800000000441e-05 × 6371000     		dr = 585.367480000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01936651-0.01955826) × cos(1.07111571) × R
    0.000191750000000001 × 0.479145229025557 × 6371000     		do = 585.342618227862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01936651-0.01955826) × cos(1.07102383) × R
    0.000191750000000001 × 0.479225873353369 × 6371000     		du = 585.441136504007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07111571)-sin(1.07102383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479145229025557-0.479225873353369)×R²
    abs(0.01955826-0.01936651)×8.06443278124069e-05×R²
    0.000191750000000001×8.06443278124069e-05×6371000²
    0.000191750000000001×8.06443278124069e-05×40589641000000     		ar = 342669.368306868m²