Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16483 / 9259
↖ ↑ ↗
← N 61.380936°
E  1.087646°		 ← 585.15 m → N 61.380936°
E  1.098633°		 →
↑
585.18 m
↓
↑
585.18 m
↓
N 61.375673°
E  1.087646°		 ← 585.24 m →
342 442 m²		 N 61.375673°
E  1.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503036499023438 y=0.282577514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503036499023438 × 215)
    floor (0.503036499023438 × 32768)
    floor (16483.5)     		tx = 16483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282577514648438 × 215)
    floor (0.282577514648438 × 32768)
    floor (9259.5)     		ty = 9259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16483 / 9259 ti = "15/16483/9259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16483/9259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16483 ÷ 215
    16483 ÷ 32768     		x = 0.503021240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9259 ÷ 215
    9259 ÷ 32768     		y = 0.282562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503021240234375 × 2 - 1) × π
    0.00604248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01898301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282562255859375 × 2 - 1) × π
    0.43487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3662016391716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01898301} λ = 0.01898301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3662016391716))-π/2
    2×atan(3.92043116635794)-π/2
    2×1.32104787925919-π/2
    2.64209575851838-1.57079632675     		φ = 1.07129943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01898301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.087646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07129943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.380936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16483 KachelY 9259 0.01898301 1.07129943 1.087646 61.380936
    Oben rechts KachelX + 1 16484 KachelY 9259 0.01917476 1.07129943 1.098633 61.380936
    Unten links KachelX 16483 KachelY + 1 9260 0.01898301 1.07120758 1.087646 61.375673
    Unten rechts KachelX + 1 16484 KachelY + 1 9260 0.01917476 1.07120758 1.098633 61.375673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07129943-1.07120758) × R
    9.18500000000044e-05 × 6371000     		dl = 585.176350000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07129943-1.07120758) × R
    9.18500000000044e-05 × 6371000     		dr = 585.176350000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01898301-0.01917476) × cos(1.07129943) × R
    0.000191749999999997 × 0.478983963348821 × 6371000     		do = 585.145609747474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01898301-0.01917476) × cos(1.07120758) × R
    0.000191749999999997 × 0.479064589430628 × 6371000     		du = 585.244105733583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07129943)-sin(1.07120758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478983963348821-0.479064589430628)×R²
    abs(0.01917476-0.01898301)×8.06260818068671e-05×R²
    0.000191749999999997×8.06260818068671e-05×6371000²
    0.000191749999999997×8.06260818068671e-05×40589641000000     		ar = 342442.191131729m²