Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16480 / 9312
↖ ↑ ↗
← N 61.100789°
E  1.054688°		 ← 590.38 m → N 61.100789°
E  1.065674°		 →
↑
590.40 m
↓
↑
590.40 m
↓
N 61.095479°
E  1.054688°		 ← 590.48 m →
348 591 m²		 N 61.095479°
E  1.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502944946289062 y=0.284194946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502944946289062 × 215)
    floor (0.502944946289062 × 32768)
    floor (16480.5)     		tx = 16480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284194946289062 × 215)
    floor (0.284194946289062 × 32768)
    floor (9312.5)     		ty = 9312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16480 / 9312 ti = "15/16480/9312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16480/9312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16480 ÷ 215
    16480 ÷ 32768     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9312 ÷ 215
    9312 ÷ 32768     		y = 0.2841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2841796875 × 2 - 1) × π
    0.431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.35603901645215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35603901645215))-π/2
    2×atan(3.8807910683618)-π/2
    2×1.31860313372659-π/2
    2.63720626745317-1.57079632675     		φ = 1.06640994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06640994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.100789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16480 KachelY 9312 0.01840777 1.06640994 1.054688 61.100789
    Oben rechts KachelX + 1 16481 KachelY 9312 0.01859952 1.06640994 1.065674 61.100789
    Unten links KachelX 16480 KachelY + 1 9313 0.01840777 1.06631727 1.054688 61.095479
    Unten rechts KachelX + 1 16481 KachelY + 1 9313 0.01859952 1.06631727 1.065674 61.095479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06640994-1.06631727) × R
    9.26699999999059e-05 × 6371000     		dl = 590.4005699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06640994-1.06631727) × R
    9.26699999999059e-05 × 6371000     		dr = 590.4005699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.01859952) × cos(1.06640994) × R
    0.000191750000000001 × 0.483270330661515 × 6371000     		do = 590.382004296588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.01859952) × cos(1.06631727) × R
    0.000191750000000001 × 0.483351458500578 × 6371000     		du = 590.481113249055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06640994)-sin(1.06631727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483270330661515-0.483351458500578)×R²
    abs(0.01859952-0.01840777)×8.11278390631109e-05×R²
    0.000191750000000001×8.11278390631109e-05×6371000²
    0.000191750000000001×8.11278390631109e-05×40589641000000     		ar = 348591.129095374m²