Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16480 / 16799
↖ ↑ ↗
← N 78.955086°
W134.736328°		 ← 58.51 m → N 78.955086°
W134.733581°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.954560°
W134.736328°		 ← 58.52 m →
3 422 m²		 N 78.954560°
W134.733581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125736236572266 y=0.128170013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125736236572266 × 217)
    floor (0.125736236572266 × 131072)
    floor (16480.5)     		tx = 16480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128170013427734 × 217)
    floor (0.128170013427734 × 131072)
    floor (16799.5)     		ty = 16799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16480 / 16799 ti = "17/16480/16799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16480/16799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16480 ÷ 217
    16480 ÷ 131072     		x = 0.125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16799 ÷ 217
    16799 ÷ 131072     		y = 0.128166198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125732421875 × 2 - 1) × π
    -0.74853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35159255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128166198730469 × 2 - 1) × π
    0.743667602539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.33630067678268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35159255} λ = -2.35159255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33630067678268))-π/2
    2×atan(10.3429039593507)-π/2
    2×1.47441126982743-π/2
    2.94882253965486-1.57079632675     		φ = 1.37802621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35159255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37802621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.955086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16480 KachelY 16799 -2.35159255 1.37802621 -134.736328 78.955086
    Oben rechts KachelX + 1 16481 KachelY 16799 -2.35154461 1.37802621 -134.733581 78.955086
    Unten links KachelX 16480 KachelY + 1 16800 -2.35159255 1.37801703 -134.736328 78.954560
    Unten rechts KachelX + 1 16481 KachelY + 1 16800 -2.35154461 1.37801703 -134.733581 78.954560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37802621-1.37801703) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dl = 58.4857799996306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37802621-1.37801703) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dr = 58.4857799996306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35159255--2.35154461) × cos(1.37802621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191578433313499 × 6371000     		do = 58.5129847627777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35159255--2.35154461) × cos(1.37801703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191587443267103 × 6371000     		du = 58.5157366345247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37802621)-sin(1.37801703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191578433313499-0.191587443267103)×R²
    abs(-2.35154461--2.35159255)×9.00995360444967e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.00995360444967e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.00995360444967e-06×40589641000000     		ar = 3422.25802650565m²