Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1648 / 3193
↖ ↑ ↗
← S 70.407347°
W 35.156250°		 ← 3 277.20 m → S 70.407347°
W 35.068359°		 →
↑
3 274.82 m
↓
↑
3 274.82 m
↓
S 70.436799°
W 35.156250°		 ← 3 272.47 m →
10 724 509 m²		 S 70.436799°
W 35.068359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4024658203125 y=0.7796630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4024658203125 × 212)
    floor (0.4024658203125 × 4096)
    floor (1648.5)     		tx = 1648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7796630859375 × 212)
    floor (0.7796630859375 × 4096)
    floor (3193.5)     		ty = 3193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1648 / 3193 ti = "12/1648/3193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1648/3193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1648 ÷ 212
    1648 ÷ 4096     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3193 ÷ 212
    3193 ÷ 4096     		y = 0.779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.55908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75640800207886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75640800207886))-π/2
    2×atan(0.172663959846406)-π/2
    2×0.170978146133982-π/2
    0.341956292267964-1.57079632675     		φ = -1.22884003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22884003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.407347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1648 KachelY 3193 -0.61359232 -1.22884003 -35.156250 -70.407347
    Oben rechts KachelX + 1 1649 KachelY 3193 -0.61205833 -1.22884003 -35.068359 -70.407347
    Unten links KachelX 1648 KachelY + 1 3194 -0.61359232 -1.22935405 -35.156250 -70.436799
    Unten rechts KachelX + 1 1649 KachelY + 1 3194 -0.61205833 -1.22935405 -35.068359 -70.436799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22884003--1.22935405) × R
    0.000514020000000004 × 6371000     		dl = 3274.82142000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22884003--1.22935405) × R
    0.000514020000000004 × 6371000     		dr = 3274.82142000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.61205833) × cos(-1.22884003) × R
    0.00153398999999999 × 0.335330760751424 × 6371000     		do = 3277.2043886076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.61205833) × cos(-1.22935405) × R
    0.00153398999999999 × 0.334846457993195 × 6371000     		du = 3272.47127339584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22884003)-sin(-1.22935405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335330760751424-0.334846457993195)×R²
    abs(-0.61205833--0.61359232)×0.000484302758228805×R²
    0.00153398999999999×0.000484302758228805×6371000²
    0.00153398999999999×0.000484302758228805×40589641000000     		ar = 10724509.3121202m²