Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16479 / 16235
↖ ↑ ↗
← N  1.636740°
E  1.043701°		 ← 1 221.14 m → N  1.636740°
E  1.054688°		 →
↑
1 221.13 m
↓
↑
1 221.13 m
↓
N  1.625759°
E  1.043701°		 ← 1 221.15 m →
1 491 175 m²		 N  1.625759°
E  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502914428710938 y=0.495468139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502914428710938 × 215)
    floor (0.502914428710938 × 32768)
    floor (16479.5)     		tx = 16479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495468139648438 × 215)
    floor (0.495468139648438 × 32768)
    floor (16235.5)     		ty = 16235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16479 / 16235 ti = "15/16479/16235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16479/16235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16479 ÷ 215
    16479 ÷ 32768     		x = 0.502899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16235 ÷ 215
    16235 ÷ 32768     		y = 0.495452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502899169921875 × 2 - 1) × π
    0.00579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01821602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495452880859375 × 2 - 1) × π
    0.00909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0285703921735535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01821602} λ = 0.01821602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0285703921735535))-π/2
    2×atan(1.02898244059579)-π/2
    2×0.799681416457625-π/2
    1.59936283291525-1.57079632675     		φ = 0.02856651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01821602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02856651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.636740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16479 KachelY 16235 0.01821602 0.02856651 1.043701 1.636740
    Oben rechts KachelX + 1 16480 KachelY 16235 0.01840777 0.02856651 1.054688 1.636740
    Unten links KachelX 16479 KachelY + 1 16236 0.01821602 0.02837484 1.043701 1.625759
    Unten rechts KachelX + 1 16480 KachelY + 1 16236 0.01840777 0.02837484 1.054688 1.625759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02856651-0.02837484) × R
    0.000191670000000001 × 6371000     		dl = 1221.12957000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02856651-0.02837484) × R
    0.000191670000000001 × 6371000     		dr = 1221.12957000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01821602-0.01840777) × cos(0.02856651) × R
    0.000191750000000001 × 0.999592004999549 × 6371000     		do = 1221.14082729365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01821602-0.01840777) × cos(0.02837484) × R
    0.000191750000000001 × 0.999597461236629 × 6371000     		du = 1221.14749284703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02856651)-sin(0.02837484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999592004999549-0.999597461236629)×R²
    abs(0.01840777-0.01821602)×5.45623708037013e-06×R²
    0.000191750000000001×5.45623708037013e-06×6371000²
    0.000191750000000001×5.45623708037013e-06×40589641000000     		ar = 1491175.24765986m²