Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16478 / 16222
↖ ↑ ↗
← N  1.779499°
E  1.032715°		 ← 1 221.05 m → N  1.779499°
E  1.043701°		 →
↑
1 221.07 m
↓
↑
1 221.07 m
↓
N  1.768518°
E  1.032715°		 ← 1 221.06 m →
1 490 987 m²		 N  1.768518°
E  1.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502883911132812 y=0.495071411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502883911132812 × 215)
    floor (0.502883911132812 × 32768)
    floor (16478.5)     		tx = 16478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495071411132812 × 215)
    floor (0.495071411132812 × 32768)
    floor (16222.5)     		ty = 16222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16478 / 16222 ti = "15/16478/16222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16478/16222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16478 ÷ 215
    16478 ÷ 32768     		x = 0.50286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16222 ÷ 215
    16222 ÷ 32768     		y = 0.49505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50286865234375 × 2 - 1) × π
    0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49505615234375 × 2 - 1) × π
    0.0098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01802427} λ = 0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0310631109537964))-π/2
    2×atan(1.03155060397474)-π/2
    2×0.800927221700085-π/2
    1.60185444340017-1.57079632675     		φ = 0.03105812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03105812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.779499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16478 KachelY 16222 0.01802427 0.03105812 1.032715 1.779499
    Oben rechts KachelX + 1 16479 KachelY 16222 0.01821602 0.03105812 1.043701 1.779499
    Unten links KachelX 16478 KachelY + 1 16223 0.01802427 0.03086646 1.032715 1.768518
    Unten rechts KachelX + 1 16479 KachelY + 1 16223 0.01821602 0.03086646 1.043701 1.768518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03105812-0.03086646) × R
    0.000191660000000003 × 6371000     		dl = 1221.06586000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03105812-0.03086646) × R
    0.000191660000000003 × 6371000     		dr = 1221.06586000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01802427-0.01821602) × cos(0.03105812) × R
    0.000191750000000001 × 0.999517735359216 × 6371000     		do = 1221.05009658594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01802427-0.01821602) × cos(0.03086646) × R
    0.000191750000000001 × 0.999523668643598 × 6371000     		du = 1221.05734491902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03105812)-sin(0.03086646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999517735359216-0.999523668643598)×R²
    abs(0.01821602-0.01802427)×5.93328438247553e-06×R²
    0.000191750000000001×5.93328438247553e-06×6371000²
    0.000191750000000001×5.93328438247553e-06×40589641000000     		ar = 1490987.01620096m²