Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16477 / 17243
↖ ↑ ↗
← N 78.719003°
W134.744568°		 ← 59.75 m → N 78.719003°
W134.741821°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.718466°
W134.744568°		 ← 59.75 m →
3 567 m²		 N 78.718466°
W134.741821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125713348388672 y=0.131557464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125713348388672 × 217)
    floor (0.125713348388672 × 131072)
    floor (16477.5)     		tx = 16477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131557464599609 × 217)
    floor (0.131557464599609 × 131072)
    floor (17243.5)     		ty = 17243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16477 / 17243 ti = "17/16477/17243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16477/17243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16477 ÷ 217
    16477 ÷ 131072     		x = 0.125709533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17243 ÷ 217
    17243 ÷ 131072     		y = 0.131553649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125709533691406 × 2 - 1) × π
    -0.748580932617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.35173636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131553649902344 × 2 - 1) × π
    0.736892700195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.31501669335137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35173636} λ = -2.35173636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31501669335137))-π/2
    2×atan(10.12509193905)-π/2
    2×1.47235105574019-π/2
    2.94470211148039-1.57079632675     		φ = 1.37390578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35173636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.744568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37390578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.719003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16477 KachelY 17243 -2.35173636 1.37390578 -134.744568 78.719003
    Oben rechts KachelX + 1 16478 KachelY 17243 -2.35168842 1.37390578 -134.741821 78.719003
    Unten links KachelX 16477 KachelY + 1 17244 -2.35173636 1.37389641 -134.744568 78.718466
    Unten rechts KachelX + 1 16478 KachelY + 1 17244 -2.35168842 1.37389641 -134.741821 78.718466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37390578-1.37389641) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dl = 59.6962700007617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37390578-1.37389641) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dr = 59.6962700007617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35173636--2.35168842) × cos(1.37390578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195620904107993 × 6371000     		do = 59.7476593966137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35173636--2.35168842) × cos(1.37389641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195630093067181 × 6371000     		du = 59.7504659412736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37390578)-sin(1.37389641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195620904107993-0.195630093067181)×R²
    abs(-2.35168842--2.35173636)×9.1889591881944e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.1889591881944e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.1889591881944e-06×40589641000000     		ar = 3566.79617744883m²