Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16477 / 16542
↖ ↑ ↗
← S  1.735575°
E  1.021729°		 ← 1 221.02 m → S  1.735575°
E  1.032715°		 →
↑
1 221.07 m
↓
↑
1 221.07 m
↓
S  1.746556°
E  1.021729°		 ← 1 221.01 m →
1 490 936 m²		 S  1.746556°
E  1.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502853393554688 y=0.504837036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502853393554688 × 215)
    floor (0.502853393554688 × 32768)
    floor (16477.5)     		tx = 16477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504837036132812 × 215)
    floor (0.504837036132812 × 32768)
    floor (16542.5)     		ty = 16542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16477 / 16542 ti = "15/16477/16542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16477/16542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16477 ÷ 215
    16477 ÷ 32768     		x = 0.502838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16542 ÷ 215
    16542 ÷ 32768     		y = 0.50482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502838134765625 × 2 - 1) × π
    0.00567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01783253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0302961205598755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01783253} λ = 0.01783253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0302961205598755))-π/2
    2×atan(0.970158207217502)-π/2
    2×0.770252419872864-π/2
    1.54050483974573-1.57079632675     		φ = -0.03029149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01783253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.021729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03029149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.735575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16477 KachelY 16542 0.01783253 -0.03029149 1.021729 -1.735575
    Oben rechts KachelX + 1 16478 KachelY 16542 0.01802427 -0.03029149 1.032715 -1.735575
    Unten links KachelX 16477 KachelY + 1 16543 0.01783253 -0.03048315 1.021729 -1.746556
    Unten rechts KachelX + 1 16478 KachelY + 1 16543 0.01802427 -0.03048315 1.032715 -1.746556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03029149--0.03048315) × R
    0.00019166 × 6371000     		dl = 1221.06586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03029149--0.03048315) × R
    0.00019166 × 6371000     		dr = 1221.06586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01783253-0.01802427) × cos(-0.03029149) × R
    0.000191739999999999 × 0.999541247896664 × 6371000     		do = 1221.01513965164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01783253-0.01802427) × cos(-0.03048315) × R
    0.000191739999999999 × 0.999535424759188 × 6371000     		du = 1221.00802624933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03029149)-sin(-0.03048315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999541247896664-0.999535424759188)×R²
    abs(0.01802427-0.01783253)×5.82313747532481e-06×R²
    0.000191739999999999×5.82313747532481e-06×6371000²
    0.000191739999999999×5.82313747532481e-06×40589641000000     		ar = 1490935.56316934m²