Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1647 / 699
↖ ↑ ↗
← N 49.496675°
E109.511719°		 ← 12.695 km → N 49.496675°
E109.687500°		 →
↑
12.710 km
↓
↑
12.710 km
↓
N 49.382373°
E109.511719°		 ← 12.725 km →
161.538 km²		 N 49.382373°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804443359375 y=0.341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804443359375 × 211)
    floor (0.804443359375 × 2048)
    floor (1647.5)     		tx = 1647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341552734375 × 211)
    floor (0.341552734375 × 2048)
    floor (699.5)     		ty = 699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1647 / 699 ti = "11/1647/699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1647/699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1647 ÷ 211
    1647 ÷ 2048     		x = 0.80419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 699 ÷ 211
    699 ÷ 2048     		y = 0.34130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80419921875 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91134006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34130859375 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91134006} λ = 1.91134006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997087512097168))-π/2
    2×atan(2.71037638336199)-π/2
    2×1.21733813303438-π/2
    2.43467626606875-1.57079632675     		φ = 0.86387994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91134006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.511719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86387994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.496675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1647 KachelY 699 1.91134006 0.86387994 109.511719 49.496675
    Oben rechts KachelX + 1 1648 KachelY 699 1.91440802 0.86387994 109.687500 49.496675
    Unten links KachelX 1647 KachelY + 1 700 1.91134006 0.86188500 109.511719 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 1648 KachelY + 1 700 1.91440802 0.86188500 109.687500 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86387994-0.86188500) × R
    0.00199494 × 6371000     		dl = 12709.76274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86387994-0.86188500) × R
    0.00199494 × 6371000     		dr = 12709.76274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91134006-1.91440802) × cos(0.86387994) × R
    0.00306796000000009 × 0.649492180998693 × 6371000     		do = 12694.9567374307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91134006-1.91440802) × cos(0.86188500) × R
    0.00306796000000009 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 12724.5805293674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86387994)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649492180998693-0.651007776650759)×R²
    abs(1.91440802-1.91134006)×0.00151559565206583×R²
    0.00306796000000009×0.00151559565206583×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151559565206583×40589641000000     		ar = 161538197.384747m²