Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16468 / 16300
↖ ↑ ↗
← N 79.214594°
W134.769287°		 ← 57.15 m → N 79.214594°
W134.766540°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.214079°
W134.769287°		 ← 57.16 m →
3 270 m²		 N 79.214079°
W134.766540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125644683837891 y=0.124362945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125644683837891 × 217)
    floor (0.125644683837891 × 131072)
    floor (16468.5)     		tx = 16468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124362945556641 × 217)
    floor (0.124362945556641 × 131072)
    floor (16300.5)     		ty = 16300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16468 / 16300 ti = "17/16468/16300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16468/16300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16468 ÷ 217
    16468 ÷ 131072     		x = 0.125640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16300 ÷ 217
    16300 ÷ 131072     		y = 0.124359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.74871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35216779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124359130859375 × 2 - 1) × π
    0.75128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36022118969308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35216779} λ = -2.35216779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36022118969308))-π/2
    2×atan(10.5932943208346)-π/2
    2×1.47667590121364-π/2
    2.95335180242729-1.57079632675     		φ = 1.38255548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35216779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38255548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.214594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16468 KachelY 16300 -2.35216779 1.38255548 -134.769287 79.214594
    Oben rechts KachelX + 1 16469 KachelY 16300 -2.35211985 1.38255548 -134.766540 79.214594
    Unten links KachelX 16468 KachelY + 1 16301 -2.35216779 1.38254650 -134.769287 79.214079
    Unten rechts KachelX + 1 16469 KachelY + 1 16301 -2.35211985 1.38254650 -134.766540 79.214079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38255548-1.38254650) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38255548-1.38254650) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35216779--2.35211985) × cos(1.38255548) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.187131107746678 × 6371000     		do = 57.1546570610409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35216779--2.35211985) × cos(1.38254650) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.187139929106959 × 6371000     		du = 57.1573513315324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38255548)-sin(1.38254650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187131107746678-0.187139929106959)×R²
    abs(-2.35211985--2.35216779)×8.82136028074187e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.82136028074187e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.82136028074187e-06×40589641000000     		ar = 3269.98530656823m²