Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16467 / 8957
↖ ↑ ↗
← N 62.930236°
E  0.911865°		 ← 555.94 m → N 62.930236°
E  0.922852°		 →
↑
556 m
↓
↑
556 m
↓
N 62.925235°
E  0.911865°		 ← 556.03 m →
309 126 m²		 N 62.925235°
E  0.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502548217773438 y=0.273361206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502548217773438 × 215)
    floor (0.502548217773438 × 32768)
    floor (16467.5)     		tx = 16467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273361206054688 × 215)
    floor (0.273361206054688 × 32768)
    floor (8957.5)     		ty = 8957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16467 / 8957 ti = "15/16467/8957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16467/8957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16467 ÷ 215
    16467 ÷ 32768     		x = 0.502532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8957 ÷ 215
    8957 ÷ 32768     		y = 0.273345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502532958984375 × 2 - 1) × π
    0.00506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01591505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273345947265625 × 2 - 1) × π
    0.45330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42410941391263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01591505} λ = 0.01591505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42410941391263))-π/2
    2×atan(4.15415656080772)-π/2
    2×1.33456806934109-π/2
    2.66913613868218-1.57079632675     		φ = 1.09833981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01591505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.911865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09833981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.930236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16467 KachelY 8957 0.01591505 1.09833981 0.911865 62.930236
    Oben rechts KachelX + 1 16468 KachelY 8957 0.01610680 1.09833981 0.922852 62.930236
    Unten links KachelX 16467 KachelY + 1 8958 0.01591505 1.09825254 0.911865 62.925235
    Unten rechts KachelX + 1 16468 KachelY + 1 8958 0.01610680 1.09825254 0.922852 62.925235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09833981-1.09825254) × R
    8.72699999998616e-05 × 6371000     		dl = 555.997169999118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09833981-1.09825254) × R
    8.72699999998616e-05 × 6371000     		dr = 555.997169999118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01591505-0.01610680) × cos(1.09833981) × R
    0.000191750000000001 × 0.455075069185339 × 6371000     		do = 555.937566213278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01591505-0.01610680) × cos(1.09825254) × R
    0.000191750000000001 × 0.455152777292286 × 6371000     		du = 556.032497486768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09833981)-sin(1.09825254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455075069185339-0.455152777292286)×R²
    abs(0.01610680-0.01591505)×7.77081069474606e-05×R²
    0.000191750000000001×7.77081069474606e-05×6371000²
    0.000191750000000001×7.77081069474606e-05×40589641000000     		ar = 309126.104466775m²