Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16467 / 15845
↖ ↑ ↗
← N 79.445962°
W134.772034°		 ← 55.94 m → N 79.445962°
W134.769287°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.445459°
W134.772034°		 ← 55.95 m →
3 129 m²		 N 79.445459°
W134.769287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125637054443359 y=0.120891571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125637054443359 × 217)
    floor (0.125637054443359 × 131072)
    floor (16467.5)     		tx = 16467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120891571044922 × 217)
    floor (0.120891571044922 × 131072)
    floor (15845.5)     		ty = 15845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16467 / 15845 ti = "17/16467/15845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16467/15845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16467 ÷ 217
    16467 ÷ 131072     		x = 0.125633239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15845 ÷ 217
    15845 ÷ 131072     		y = 0.120887756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125633239746094 × 2 - 1) × π
    -0.748733520507812 × 3.1415926535     		Λ = -2.35221573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120887756347656 × 2 - 1) × π
    0.758224487304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.38203247902021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35221573} λ = -2.35221573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38203247902021))-π/2
    2×atan(10.8268859348152)-π/2
    2×1.47869497349661-π/2
    2.95738994699322-1.57079632675     		φ = 1.38659362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35221573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.772034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38659362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.445962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16467 KachelY 15845 -2.35221573 1.38659362 -134.772034 79.445962
    Oben rechts KachelX + 1 16468 KachelY 15845 -2.35216779 1.38659362 -134.769287 79.445962
    Unten links KachelX 16467 KachelY + 1 15846 -2.35221573 1.38658484 -134.772034 79.445459
    Unten rechts KachelX + 1 16468 KachelY + 1 15846 -2.35216779 1.38658484 -134.769287 79.445459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38659362-1.38658484) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38659362-1.38658484) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35221573--2.35216779) × cos(1.38659362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183162786752156 × 6371000     		do = 55.9426296842026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35221573--2.35216779) × cos(1.38658484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183171418210302 × 6371000     		du = 55.9452659536942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38659362)-sin(1.38658484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183162786752156-0.183171418210302)×R²
    abs(-2.35216779--2.35221573)×8.63145814619659e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63145814619659e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63145814619659e-06×40589641000000     		ar = 3129.35786783005m²