Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16465 / 18865
↖ ↑ ↗
← S 26.283565°
E  0.889893°		 ← 1 095.28 m → S 26.283565°
E  0.900879°		 →
↑
1 095.24 m
↓
↑
1 095.24 m
↓
S 26.293415°
E  0.889893°		 ← 1 095.19 m →
1 199 543 m²		 S 26.293415°
E  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502487182617188 y=0.575729370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502487182617188 × 215)
    floor (0.502487182617188 × 32768)
    floor (16465.5)     		tx = 16465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575729370117188 × 215)
    floor (0.575729370117188 × 32768)
    floor (18865.5)     		ty = 18865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16465 / 18865 ti = "15/16465/18865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16465/18865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16465 ÷ 215
    16465 ÷ 32768     		x = 0.502471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18865 ÷ 215
    18865 ÷ 32768     		y = 0.575714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502471923828125 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.15142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.475725791829437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01553156} λ = 0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475725791829437))-π/2
    2×atan(0.621433861128939)-π/2
    2×0.556030789786347-π/2
    1.11206157957269-1.57079632675     		φ = -0.45873475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45873475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.283565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16465 KachelY 18865 0.01553156 -0.45873475 0.889893 -26.283565
    Oben rechts KachelX + 1 16466 KachelY 18865 0.01572330 -0.45873475 0.900879 -26.283565
    Unten links KachelX 16465 KachelY + 1 18866 0.01553156 -0.45890666 0.889893 -26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 16466 KachelY + 1 18866 0.01572330 -0.45890666 0.900879 -26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45873475--0.45890666) × R
    0.000171909999999997 × 6371000     		dl = 1095.23860999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45873475--0.45890666) × R
    0.000171909999999997 × 6371000     		dr = 1095.23860999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01553156-0.01572330) × cos(-0.45873475) × R
    0.000191739999999999 × 0.896613485491882 × 6371000     		do = 1095.28110271102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01553156-0.01572330) × cos(-0.45890666) × R
    0.000191739999999999 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 1095.18809511709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45873475)-sin(-0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896613485491882-0.896537348084991)×R²
    abs(0.01572330-0.01553156)×7.61374068912746e-05×R²
    0.000191739999999999×7.61374068912746e-05×6371000²
    0.000191739999999999×7.61374068912746e-05×40589641000000     		ar = 1199543.22269298m²