Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16465 / 16273
↖ ↑ ↗
← N 79.228462°
W134.777527°		 ← 57.08 m → N 79.228462°
W134.774780°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.227949°
W134.777527°		 ← 57.08 m →
3 255 m²		 N 79.227949°
W134.774780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125621795654297 y=0.124156951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125621795654297 × 217)
    floor (0.125621795654297 × 131072)
    floor (16465.5)     		tx = 16465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124156951904297 × 217)
    floor (0.124156951904297 × 131072)
    floor (16273.5)     		ty = 16273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16465 / 16273 ti = "17/16465/16273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16465/16273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16465 ÷ 217
    16465 ÷ 131072     		x = 0.125617980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16273 ÷ 217
    16273 ÷ 131072     		y = 0.124153137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125617980957031 × 2 - 1) × π
    -0.748764038085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.35231160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124153137207031 × 2 - 1) × π
    0.751693725585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36151548598283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35231160} λ = -2.35231160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36151548598283))-π/2
    2×atan(10.6070140591582)-π/2
    2×1.47679692581086-π/2
    2.95359385162172-1.57079632675     		φ = 1.38279752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35231160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.777527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38279752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.228462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16465 KachelY 16273 -2.35231160 1.38279752 -134.777527 79.228462
    Oben rechts KachelX + 1 16466 KachelY 16273 -2.35226366 1.38279752 -134.774780 79.228462
    Unten links KachelX 16465 KachelY + 1 16274 -2.35231160 1.38278857 -134.777527 79.227949
    Unten rechts KachelX + 1 16466 KachelY + 1 16274 -2.35226366 1.38278857 -134.774780 79.227949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38279752-1.38278857) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38279752-1.38278857) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35231160--2.35226366) × cos(1.38279752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186893337916992 × 6371000     		do = 57.0820360343298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35231160--2.35226366) × cos(1.38278857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186902130212401 × 6371000     		du = 57.0847214276614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38279752)-sin(1.38278857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186893337916992-0.186902130212401)×R²
    abs(-2.35226366--2.35231160)×8.79229540884374e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.79229540884374e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.79229540884374e-06×40589641000000     		ar = 3254.91994270265m²