Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16464 / 15472
↖ ↑ ↗
← N 79.631968°
W134.780274°		 ← 54.97 m → N 79.631968°
W134.777527°		 →
↑
54.92 m
↓
↑
54.92 m
↓
N 79.631474°
W134.780274°		 ← 54.97 m →
3 019 m²		 N 79.631474°
W134.777527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125614166259766 y=0.118045806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125614166259766 × 217)
    floor (0.125614166259766 × 131072)
    floor (16464.5)     		tx = 16464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118045806884766 × 217)
    floor (0.118045806884766 × 131072)
    floor (15472.5)     		ty = 15472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16464 / 15472 ti = "17/16464/15472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16464/15472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16464 ÷ 217
    16464 ÷ 131072     		x = 0.1256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15472 ÷ 217
    15472 ÷ 131072     		y = 0.1180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35235954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1180419921875 × 2 - 1) × π
    0.763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39991294257849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35235954} λ = -2.35235954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39991294257849))-π/2
    2×atan(11.0222167731002)-π/2
    2×1.48031818023562-π/2
    2.96063636047124-1.57079632675     		φ = 1.38984003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35235954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.780274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38984003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.631968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16464 KachelY 15472 -2.35235954 1.38984003 -134.780274 79.631968
    Oben rechts KachelX + 1 16465 KachelY 15472 -2.35231160 1.38984003 -134.777527 79.631968
    Unten links KachelX 16464 KachelY + 1 15473 -2.35235954 1.38983141 -134.780274 79.631474
    Unten rechts KachelX + 1 16465 KachelY + 1 15473 -2.35231160 1.38983141 -134.777527 79.631474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38984003-1.38983141) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dl = 54.9180200000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38984003-1.38983141) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dr = 54.9180200000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35235954--2.35231160) × cos(1.38984003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179970337990931 × 6371000     		do = 54.967573658894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35235954--2.35231160) × cos(1.38983141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179978817237208 × 6371000     		du = 54.9701634389629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38984003)-sin(1.38983141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179970337990931-0.179978817237208)×R²
    abs(-2.35231160--2.35235954)×8.47924627722652e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.47924627722652e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.47924627722652e-06×40589641000000     		ar = 3018.78142249779m²