Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16463 / 16538
↖ ↑ ↗
← S  1.691649°
E  0.867920°		 ← 1 221.11 m → S  1.691649°
E  0.878906°		 →
↑
1 221.07 m
↓
↑
1 221.07 m
↓
S  1.702630°
E  0.867920°		 ← 1 221.10 m →
1 491 048 m²		 S  1.702630°
E  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502426147460938 y=0.504714965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502426147460938 × 215)
    floor (0.502426147460938 × 32768)
    floor (16463.5)     		tx = 16463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504714965820312 × 215)
    floor (0.504714965820312 × 32768)
    floor (16538.5)     		ty = 16538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16463 / 16538 ti = "15/16463/16538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16463/16538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16463 ÷ 215
    16463 ÷ 32768     		x = 0.502410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16538 ÷ 215
    16538 ÷ 32768     		y = 0.50469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502410888671875 × 2 - 1) × π
    0.00482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01514806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.0093994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0295291301659546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01514806} λ = 0.01514806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0295291301659546))-π/2
    2×atan(0.970902594675544)-π/2
    2×0.770635743555317-π/2
    1.54127148711063-1.57079632675     		φ = -0.02952484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01514806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.867920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02952484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.691649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16463 KachelY 16538 0.01514806 -0.02952484 0.867920 -1.691649
    Oben rechts KachelX + 1 16464 KachelY 16538 0.01533981 -0.02952484 0.878906 -1.691649
    Unten links KachelX 16463 KachelY + 1 16539 0.01514806 -0.02971650 0.867920 -1.702630
    Unten rechts KachelX + 1 16464 KachelY + 1 16539 0.01533981 -0.02971650 0.878906 -1.702630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02952484--0.02971650) × R
    0.00019166 × 6371000     		dl = 1221.06586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02952484--0.02971650) × R
    0.00019166 × 6371000     		dr = 1221.06586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01514806-0.01533981) × cos(-0.02952484) × R
    0.000191750000000001 × 0.999564173572613 × 6371000     		do = 1221.10682733012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01514806-0.01533981) × cos(-0.02971650) × R
    0.000191750000000001 × 0.999558497305139 × 6371000     		du = 1221.09989297898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02952484)-sin(-0.02971650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999564173572613-0.999558497305139)×R²
    abs(0.01533981-0.01514806)×5.67626747405292e-06×R²
    0.000191750000000001×5.67626747405292e-06×6371000²
    0.000191750000000001×5.67626747405292e-06×40589641000000     		ar = 1491047.62918029m²