Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16460 / 15860
↖ ↑ ↗
← N 79.438414°
W134.791260°		 ← 55.98 m → N 79.438414°
W134.788513°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.437910°
W134.791260°		 ← 55.98 m →
3 135 m²		 N 79.437910°
W134.788513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125583648681641 y=0.121006011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125583648681641 × 217)
    floor (0.125583648681641 × 131072)
    floor (16460.5)     		tx = 16460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121006011962891 × 217)
    floor (0.121006011962891 × 131072)
    floor (15860.5)     		ty = 15860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16460 / 15860 ti = "17/16460/15860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16460/15860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16460 ÷ 217
    16460 ÷ 131072     		x = 0.125579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15860 ÷ 217
    15860 ÷ 131072     		y = 0.121002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.74884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35255129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121002197265625 × 2 - 1) × π
    0.75799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38131342552591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35255129} λ = -2.35255129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38131342552591))-π/2
    2×atan(10.8191036229359)-π/2
    2×1.47862909829547-π/2
    2.95725819659093-1.57079632675     		φ = 1.38646187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35255129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38646187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.438414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16460 KachelY 15860 -2.35255129 1.38646187 -134.791260 79.438414
    Oben rechts KachelX + 1 16461 KachelY 15860 -2.35250335 1.38646187 -134.788513 79.438414
    Unten links KachelX 16460 KachelY + 1 15861 -2.35255129 1.38645308 -134.791260 79.437910
    Unten rechts KachelX + 1 16461 KachelY + 1 15861 -2.35250335 1.38645308 -134.788513 79.437910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38646187-1.38645308) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38646187-1.38645308) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35255129--2.35250335) × cos(1.38646187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183292306294329 × 6371000     		do = 55.9821882862153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35255129--2.35250335) × cos(1.38645308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183300947371087 × 6371000     		du = 55.9848274934787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38646187)-sin(1.38645308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183292306294329-0.183300947371087)×R²
    abs(-2.35250335--2.35255129)×8.64107675860315e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.64107675860315e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.64107675860315e-06×40589641000000     		ar = 3135.13746387446m²