Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1646 / 3198
↖ ↑ ↗
← S 70.554179°
W 35.332031°		 ← 3 253.58 m → S 70.554179°
W 35.244141°		 →
↑
3 251.19 m
↓
↑
3 251.19 m
↓
S 70.583417°
W 35.332031°		 ← 3 248.87 m →
10 570 336 m²		 S 70.583417°
W 35.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4019775390625 y=0.7808837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4019775390625 × 212)
    floor (0.4019775390625 × 4096)
    floor (1646.5)     		tx = 1646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7808837890625 × 212)
    floor (0.7808837890625 × 4096)
    floor (3198.5)     		ty = 3198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1646 / 3198 ti = "12/1646/3198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1646/3198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1646 ÷ 212
    1646 ÷ 4096     		x = 0.40185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3198 ÷ 212
    3198 ÷ 4096     		y = 0.78076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61666028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61666028} λ = -0.61666028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76407790601807))-π/2
    2×atan(0.171344709589328)-π/2
    2×0.169696805143919-π/2
    0.339393610287838-1.57079632675     		φ = -1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61666028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1646 KachelY 3198 -0.61666028 -1.23140272 -35.332031 -70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 1647 KachelY 3198 -0.61512630 -1.23140272 -35.244141 -70.554179
    Unten links KachelX 1646 KachelY + 1 3199 -0.61666028 -1.23191303 -35.332031 -70.583417
    Unten rechts KachelX + 1 1647 KachelY + 1 3199 -0.61512630 -1.23191303 -35.244141 -70.583417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23140272--1.23191303) × R
    0.000510310000000125 × 6371000     		dl = 3251.1850100008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23140272--1.23191303) × R
    0.000510310000000125 × 6371000     		dr = 3251.1850100008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61666028--0.61512630) × cos(-1.23140272) × R
    0.00153397999999993 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 3253.57725602416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61666028--0.61512630) × cos(-1.23191303) × R
    0.00153397999999993 × 0.332434107269476 × 6371000     		du = 3248.87406907873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23140272)-sin(-1.23191303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.332434107269476)×R²
    abs(-0.61512630--0.61666028)×0.00048124356939766×R²
    0.00153397999999993×0.00048124356939766×6371000²
    0.00153397999999993×0.00048124356939766×40589641000000     		ar = 10570336.3676095m²