Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16459 / 15829
↖ ↑ ↗
← N 79.454008°
W134.794006°		 ← 55.89 m → N 79.454008°
W134.791260°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.453506°
W134.794006°		 ← 55.89 m →
3 123 m²		 N 79.453506°
W134.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125576019287109 y=0.120769500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125576019287109 × 217)
    floor (0.125576019287109 × 131072)
    floor (16459.5)     		tx = 16459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120769500732422 × 217)
    floor (0.120769500732422 × 131072)
    floor (15829.5)     		ty = 15829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16459 / 15829 ti = "17/16459/15829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16459/15829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16459 ÷ 217
    16459 ÷ 131072     		x = 0.125572204589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15829 ÷ 217
    15829 ÷ 131072     		y = 0.120765686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125572204589844 × 2 - 1) × π
    -0.748855590820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.35259922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120765686035156 × 2 - 1) × π
    0.758468627929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.38279946941413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35259922} λ = -2.35259922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38279946941413))-π/2
    2×atan(10.8351932377268)-π/2
    2×1.47876518907016-π/2
    2.95753037814033-1.57079632675     		φ = 1.38673405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35259922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.794006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38673405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.454008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16459 KachelY 15829 -2.35259922 1.38673405 -134.794006 79.454008
    Oben rechts KachelX + 1 16460 KachelY 15829 -2.35255129 1.38673405 -134.791260 79.454008
    Unten links KachelX 16459 KachelY + 1 15830 -2.35259922 1.38672528 -134.794006 79.453506
    Unten rechts KachelX + 1 16460 KachelY + 1 15830 -2.35255129 1.38672528 -134.791260 79.453506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38673405-1.38672528) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38673405-1.38672528) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35259922--2.35255129) × cos(1.38673405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183024730657401 × 6371000     		do = 55.8888032937813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35259922--2.35255129) × cos(1.38672528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183033352510235 × 6371000     		du = 55.8914360802653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38673405)-sin(1.38672528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183024730657401-0.183033352510235)×R²
    abs(-2.35255129--2.35259922)×8.62185283465045e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.62185283465045e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.62185283465045e-06×40589641000000     		ar = 3122.78610370744m²