Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16458 / 18871
↖ ↑ ↗
← S 26.342653°
E  0.812988°		 ← 1 094.78 m → S 26.342653°
E  0.823975°		 →
↑
1 094.67 m
↓
↑
1 094.67 m
↓
S 26.352498°
E  0.812988°		 ← 1 094.69 m →
1 198 366 m²		 S 26.352498°
E  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502273559570312 y=0.575912475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502273559570312 × 215)
    floor (0.502273559570312 × 32768)
    floor (16458.5)     		tx = 16458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575912475585938 × 215)
    floor (0.575912475585938 × 32768)
    floor (18871.5)     		ty = 18871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16458 / 18871 ti = "15/16458/18871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16458/18871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16458 ÷ 215
    16458 ÷ 32768     		x = 0.50225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18871 ÷ 215
    18871 ÷ 32768     		y = 0.575897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50225830078125 × 2 - 1) × π
    0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.15179443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.476876277420319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01418932} λ = 0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476876277420319))-π/2
    2×atan(0.620719321538591)-π/2
    2×0.555515150786843-π/2
    1.11103030157369-1.57079632675     		φ = -0.45976603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45976603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.342653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16458 KachelY 18871 0.01418932 -0.45976603 0.812988 -26.342653
    Oben rechts KachelX + 1 16459 KachelY 18871 0.01438107 -0.45976603 0.823975 -26.342653
    Unten links KachelX 16458 KachelY + 1 18872 0.01418932 -0.45993785 0.812988 -26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 16459 KachelY + 1 18872 0.01438107 -0.45993785 0.823975 -26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45976603--0.45993785) × R
    0.000171819999999989 × 6371000     		dl = 1094.66521999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45976603--0.45993785) × R
    0.000171819999999989 × 6371000     		dr = 1094.66521999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01418932-0.01438107) × cos(-0.45976603) × R
    0.000191749999999999 × 0.896156343537329 × 6371000     		do = 1094.77976340168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01418932-0.01438107) × cos(-0.45993785) × R
    0.000191749999999999 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 1094.68660563004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45976603)-sin(-0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896156343537329-0.896080087169799)×R²
    abs(0.01438107-0.01418932)×7.62563675298367e-05×R²
    0.000191749999999999×7.62563675298367e-05×6371000²
    0.000191749999999999×7.62563675298367e-05×40589641000000     		ar = 1198366.34521736m²