Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1645 / 3199
↖ ↑ ↗
← S 70.583417°
W 35.419922°		 ← 3 248.87 m → S 70.583417°
W 35.332031°		 →
↑
3 246.53 m
↓
↑
3 246.53 m
↓
S 70.612614°
W 35.419922°		 ← 3 244.18 m →
10 539 956 m²		 S 70.612614°
W 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4017333984375 y=0.7811279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4017333984375 × 212)
    floor (0.4017333984375 × 4096)
    floor (1645.5)     		tx = 1645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7811279296875 × 212)
    floor (0.7811279296875 × 4096)
    floor (3199.5)     		ty = 3199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1645 / 3199 ti = "12/1645/3199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1645/3199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1645 ÷ 212
    1645 ÷ 4096     		x = 0.401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3199 ÷ 212
    3199 ÷ 4096     		y = 0.781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61819426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76561188680591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61819426} λ = -0.61819426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76561188680591))-π/2
    2×atan(0.171082071589044)-π/2
    2×0.169441646861242-π/2
    0.338883293722484-1.57079632675     		φ = -1.23191303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61819426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23191303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.583417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1645 KachelY 3199 -0.61819426 -1.23191303 -35.419922 -70.583417
    Oben rechts KachelX + 1 1646 KachelY 3199 -0.61666028 -1.23191303 -35.332031 -70.583417
    Unten links KachelX 1645 KachelY + 1 3200 -0.61819426 -1.23242261 -35.419922 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 1646 KachelY + 1 3200 -0.61666028 -1.23242261 -35.332031 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23191303--1.23242261) × R
    0.000509579999999898 × 6371000     		dl = 3246.53417999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23191303--1.23242261) × R
    0.000509579999999898 × 6371000     		dr = 3246.53417999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61819426--0.61666028) × cos(-1.23191303) × R
    0.00153398000000005 × 0.332434107269476 × 6371000     		do = 3248.87406907896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61819426--0.61666028) × cos(-1.23242261) × R
    0.00153398000000005 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 3244.17676581095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23191303)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332434107269476-0.331953465734817)×R²
    abs(-0.61666028--0.61819426)×0.000480641534659043×R²
    0.00153398000000005×0.000480641534659043×6371000²
    0.00153398000000005×0.000480641534659043×40589641000000     		ar = 10539955.9620503m²