Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16448 / 18625
↖ ↑ ↗
← S 23.895883°
E  0.703125°		 ← 1 116.87 m → S 23.895883°
E  0.714111°		 →
↑
1 116.90 m
↓
↑
1 116.90 m
↓
S 23.905927°
E  0.703125°		 ← 1 116.78 m →
1 247 379 m²		 S 23.905927°
E  0.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501968383789062 y=0.568405151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501968383789062 × 215)
    floor (0.501968383789062 × 32768)
    floor (16448.5)     		tx = 16448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568405151367188 × 215)
    floor (0.568405151367188 × 32768)
    floor (18625.5)     		ty = 18625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16448 / 18625 ti = "15/16448/18625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16448/18625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16448 ÷ 215
    16448 ÷ 32768     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18625 ÷ 215
    18625 ÷ 32768     		y = 0.568389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.13677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.429706368194183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.429706368194183))-π/2
    2×atan(0.650700132929574)-π/2
    2×0.57686724797825-π/2
    1.1537344959565-1.57079632675     		φ = -0.41706183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41706183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.895883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16448 KachelY 18625 0.01227185 -0.41706183 0.703125 -23.895883
    Oben rechts KachelX + 1 16449 KachelY 18625 0.01246359 -0.41706183 0.714111 -23.895883
    Unten links KachelX 16448 KachelY + 1 18626 0.01227185 -0.41723714 0.703125 -23.905927
    Unten rechts KachelX + 1 16449 KachelY + 1 18626 0.01246359 -0.41723714 0.714111 -23.905927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41706183--0.41723714) × R
    0.000175309999999984 × 6371000     		dl = 1116.9000099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41706183--0.41723714) × R
    0.000175309999999984 × 6371000     		dr = 1116.9000099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.01246359) × cos(-0.41706183) × R
    0.000191739999999999 × 0.914283066845009 × 6371000     		do = 1116.86583109404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.01246359) × cos(-0.41723714) × R
    0.000191739999999999 × 0.914212038942139 × 6371000     		du = 1116.77906514524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41706183)-sin(-0.41723714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914283066845009-0.914212038942139)×R²
    abs(0.01246359-0.01227185)×7.10279028708349e-05×R²
    0.000191739999999999×7.10279028708349e-05×6371000²
    0.000191739999999999×7.10279028708349e-05×40589641000000     		ar = 1247379.00666791m²