Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16445 / 17261
↖ ↑ ↗
← N 78.709328°
W134.832459°		 ← 59.80 m → N 78.709328°
W134.829712°		 →
↑
59.82 m
↓
↑
59.82 m
↓
N 78.708790°
W134.832459°		 ← 59.80 m →
3 577 m²		 N 78.708790°
W134.829712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125469207763672 y=0.131694793701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125469207763672 × 217)
    floor (0.125469207763672 × 131072)
    floor (16445.5)     		tx = 16445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131694793701172 × 217)
    floor (0.131694793701172 × 131072)
    floor (17261.5)     		ty = 17261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16445 / 17261 ti = "17/16445/17261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16445/17261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16445 ÷ 217
    16445 ÷ 131072     		x = 0.125465393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17261 ÷ 217
    17261 ÷ 131072     		y = 0.131690979003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125465393066406 × 2 - 1) × π
    -0.749069213867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.35327034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131690979003906 × 2 - 1) × π
    0.736618041992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.31415382915821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35327034} λ = -2.35327034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31415382915821))-π/2
    2×atan(10.1163591279201)-π/2
    2×1.47226662288756-π/2
    2.94453324577513-1.57079632675     		φ = 1.37373692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35327034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.832459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37373692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.709328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16445 KachelY 17261 -2.35327034 1.37373692 -134.832459 78.709328
    Oben rechts KachelX + 1 16446 KachelY 17261 -2.35322240 1.37373692 -134.829712 78.709328
    Unten links KachelX 16445 KachelY + 1 17262 -2.35327034 1.37372753 -134.832459 78.708790
    Unten rechts KachelX + 1 16446 KachelY + 1 17262 -2.35322240 1.37372753 -134.829712 78.708790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37373692-1.37372753) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dl = 59.8236899999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37373692-1.37372753) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dr = 59.8236899999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35327034--2.35322240) × cos(1.37373692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195786498874149 × 6371000     		do = 59.7982363006068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35327034--2.35322240) × cos(1.37372753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195795707136578 × 6371000     		du = 59.8010487409733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37373692)-sin(1.37372753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195786498874149-0.195795707136578)×R²
    abs(-2.35322240--2.35327034)×9.20826242900574e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.20826242900574e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.20826242900574e-06×40589641000000     		ar = 3577.43527633233m²