Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16445 / 16332
↖ ↑ ↗
← N 79.198134°
W134.832459°		 ← 57.24 m → N 79.198134°
W134.829712°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.197620°
W134.832459°		 ← 57.24 m →
3 275 m²		 N 79.197620°
W134.829712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125469207763672 y=0.124607086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125469207763672 × 217)
    floor (0.125469207763672 × 131072)
    floor (16445.5)     		tx = 16445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124607086181641 × 217)
    floor (0.124607086181641 × 131072)
    floor (16332.5)     		ty = 16332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16445 / 16332 ti = "17/16445/16332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16445/16332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16445 ÷ 217
    16445 ÷ 131072     		x = 0.125465393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16332 ÷ 217
    16332 ÷ 131072     		y = 0.124603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125465393066406 × 2 - 1) × π
    -0.749069213867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.35327034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124603271484375 × 2 - 1) × π
    0.75079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35868720890524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35327034} λ = -2.35327034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35868720890524))-π/2
    2×atan(10.5770568680209)-π/2
    2×1.47653226525617-π/2
    2.95306453051235-1.57079632675     		φ = 1.38226820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35327034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.832459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38226820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.198134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16445 KachelY 16332 -2.35327034 1.38226820 -134.832459 79.198134
    Oben rechts KachelX + 1 16446 KachelY 16332 -2.35322240 1.38226820 -134.829712 79.198134
    Unten links KachelX 16445 KachelY + 1 16333 -2.35327034 1.38225922 -134.832459 79.197620
    Unten rechts KachelX + 1 16446 KachelY + 1 16333 -2.35322240 1.38225922 -134.829712 79.197620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38226820-1.38225922) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38226820-1.38225922) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35327034--2.35322240) × cos(1.38226820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187413305204485 × 6371000     		do = 57.2408474278882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35327034--2.35322240) × cos(1.38225922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187422126081634 × 6371000     		du = 57.2435415508189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38226820)-sin(1.38225922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187413305204485-0.187422126081634)×R²
    abs(-2.35322240--2.35327034)×8.82087714929036e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82087714929036e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82087714929036e-06×40589641000000     		ar = 3274.91638944306m²