Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16443 / 15785
↖ ↑ ↗
← N 79.476104°
W134.837951°		 ← 55.77 m → N 79.476104°
W134.835205°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.475603°
W134.837951°		 ← 55.78 m →
3 109 m²		 N 79.475603°
W134.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125453948974609 y=0.120433807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125453948974609 × 217)
    floor (0.125453948974609 × 131072)
    floor (16443.5)     		tx = 16443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120433807373047 × 217)
    floor (0.120433807373047 × 131072)
    floor (15785.5)     		ty = 15785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16443 / 15785 ti = "17/16443/15785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16443/15785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16443 ÷ 217
    16443 ÷ 131072     		x = 0.125450134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15785 ÷ 217
    15785 ÷ 131072     		y = 0.120429992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125450134277344 × 2 - 1) × π
    -0.749099731445312 × 3.1415926535     		Λ = -2.35336621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120429992675781 × 2 - 1) × π
    0.759140014648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.38490869299741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35336621} λ = -2.35336621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38490869299741))-π/2
    2×atan(10.8580712017221)-π/2
    2×1.47895800911864-π/2
    2.95791601823727-1.57079632675     		φ = 1.38711969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35336621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.837951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38711969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.476104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16443 KachelY 15785 -2.35336621 1.38711969 -134.837951 79.476104
    Oben rechts KachelX + 1 16444 KachelY 15785 -2.35331828 1.38711969 -134.835205 79.476104
    Unten links KachelX 16443 KachelY + 1 15786 -2.35336621 1.38711094 -134.837951 79.475603
    Unten rechts KachelX + 1 16444 KachelY + 1 15786 -2.35331828 1.38711094 -134.835205 79.475603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38711969-1.38711094) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dl = 55.7462500007189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38711969-1.38711094) × R
    8.75000000011283e-06 × 6371000     		dr = 55.7462500007189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35336621--2.35331828) × cos(1.38711969) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182645591168814 × 6371000     		do = 55.7730284898934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35336621--2.35331828) × cos(1.38711094) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182654193976479 × 6371000     		du = 55.7756554607057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38711969)-sin(1.38711094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182645591168814-0.182654193976479)×R²
    abs(-2.35331828--2.35336621)×8.60280766498689e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.60280766498689e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.60280766498689e-06×40589641000000     		ar = 3109.21041149927m²