Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16431 / 15791
↖ ↑ ↗
← N 79.473094°
W134.870911°		 ← 55.80 m → N 79.473094°
W134.868164°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.472592°
W134.870911°		 ← 55.80 m →
3 114 m²		 N 79.472592°
W134.868164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125362396240234 y=0.120479583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125362396240234 × 217)
    floor (0.125362396240234 × 131072)
    floor (16431.5)     		tx = 16431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120479583740234 × 217)
    floor (0.120479583740234 × 131072)
    floor (15791.5)     		ty = 15791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16431 / 15791 ti = "17/16431/15791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16431/15791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16431 ÷ 217
    16431 ÷ 131072     		x = 0.125358581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15791 ÷ 217
    15791 ÷ 131072     		y = 0.120475769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125358581542969 × 2 - 1) × π
    -0.749282836914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.35394146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120475769042969 × 2 - 1) × π
    0.759048461914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.38462107159969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35394146} λ = -2.35394146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38462107159969))-π/2
    2×atan(10.8549486371863)-π/2
    2×1.47893173901455-π/2
    2.95786347802909-1.57079632675     		φ = 1.38706715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35394146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.870911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38706715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.473094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16431 KachelY 15791 -2.35394146 1.38706715 -134.870911 79.473094
    Oben rechts KachelX + 1 16432 KachelY 15791 -2.35389352 1.38706715 -134.868164 79.473094
    Unten links KachelX 16431 KachelY + 1 15792 -2.35394146 1.38705839 -134.870911 79.472592
    Unten rechts KachelX + 1 16432 KachelY + 1 15792 -2.35389352 1.38705839 -134.868164 79.472592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38706715-1.38705839) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38706715-1.38705839) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35394146--2.35389352) × cos(1.38706715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182697247131793 × 6371000     		do = 55.800441901154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35394146--2.35389352) × cos(1.38705839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182705859687153 × 6371000     		du = 55.8030723972483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38706715)-sin(1.38705839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182697247131793-0.182705859687153)×R²
    abs(-2.35389352--2.35394146)×8.61255536055427e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.61255536055427e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.61255536055427e-06×40589641000000     		ar = 3114.29383433631m²