Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1643 / 1562
↖ ↑ ↗
← S 68.269387°
E108.808594°		 ← 7 236.76 m → S 68.269387°
E108.984375°		 →
↑
7 226.43 m
↓
↑
7 226.43 m
↓
S 68.334376°
E108.808594°		 ← 7 216.16 m →
52 221 563 m²		 S 68.334376°
E108.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802490234375 y=0.762939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802490234375 × 211)
    floor (0.802490234375 × 2048)
    floor (1643.5)     		tx = 1643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762939453125 × 211)
    floor (0.762939453125 × 2048)
    floor (1562.5)     		ty = 1562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1643 / 1562 ti = "11/1643/1562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1643/1562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1643 ÷ 211
    1643 ÷ 2048     		x = 0.80224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1562 ÷ 211
    1562 ÷ 2048     		y = 0.7626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89906822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7626953125 × 2 - 1) × π
    -0.525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65056332771777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89906822} λ = 1.89906822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65056332771777))-π/2
    2×atan(0.191941752050689)-π/2
    2×0.189635374377561-π/2
    0.379270748755122-1.57079632675     		φ = -1.19152558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89906822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19152558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.269387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1643 KachelY 1562 1.89906822 -1.19152558 108.808594 -68.269387
    Oben rechts KachelX + 1 1644 KachelY 1562 1.90213618 -1.19152558 108.984375 -68.269387
    Unten links KachelX 1643 KachelY + 1 1563 1.89906822 -1.19265985 108.808594 -68.334376
    Unten rechts KachelX + 1 1644 KachelY + 1 1563 1.90213618 -1.19265985 108.984375 -68.334376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19152558--1.19265985) × R
    0.0011342700000001 × 6371000     		dl = 7226.43417000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19152558--1.19265985) × R
    0.0011342700000001 × 6371000     		dr = 7226.43417000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89906822-1.90213618) × cos(-1.19152558) × R
    0.00306796000000009 × 0.370243139181402 × 6371000     		do = 7236.76246111404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89906822-1.90213618) × cos(-1.19265985) × R
    0.00306796000000009 × 0.369189238265422 × 6371000     		du = 7216.162942097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19152558)-sin(-1.19265985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370243139181402-0.369189238265422)×R²
    abs(1.90213618-1.89906822)×0.00105390091597957×R²
    0.00306796000000009×0.00105390091597957×6371000²
    0.00306796000000009×0.00105390091597957×40589641000000     		ar = 52221562.5940017m²