Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16429 / 16435
↖ ↑ ↗
← S  0.560294°
E  0.494385°		 ← 1 221.58 m → S  0.560294°
E  0.505371°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.571280°
E  0.494385°		 ← 1 221.58 m →
1 492 252 m²		 S  0.571280°
E  0.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501388549804688 y=0.501571655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501388549804688 × 215)
    floor (0.501388549804688 × 32768)
    floor (16429.5)     		tx = 16429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501571655273438 × 215)
    floor (0.501571655273438 × 32768)
    floor (16435.5)     		ty = 16435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16429 / 16435 ti = "15/16429/16435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16429/16435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16429 ÷ 215
    16429 ÷ 32768     		x = 0.501373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16435 ÷ 215
    16435 ÷ 32768     		y = 0.501556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501373291015625 × 2 - 1) × π
    0.00274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00862864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.00311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00977912752249145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00862864} λ = 0.00862864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00977912752249145))-π/2
    2×atan(0.990268532660201)-π/2
    2×0.780508677566925-π/2
    1.56101735513385-1.57079632675     		φ = -0.00977897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00862864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.494385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00977897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.560294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16429 KachelY 16435 0.00862864 -0.00977897 0.494385 -0.560294
    Oben rechts KachelX + 1 16430 KachelY 16435 0.00882039 -0.00977897 0.505371 -0.560294
    Unten links KachelX 16429 KachelY + 1 16436 0.00862864 -0.00997071 0.494385 -0.571280
    Unten rechts KachelX + 1 16430 KachelY + 1 16436 0.00882039 -0.00997071 0.505371 -0.571280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00977897--0.00997071) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dl = 1221.57554000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00977897--0.00997071) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dr = 1221.57554000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00862864-0.00882039) × cos(-0.00977897) × R
    0.000191749999999999 × 0.9999521862539 × 6371000     		do = 1221.58083885107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00862864-0.00882039) × cos(-0.00997071) × R
    0.000191749999999999 × 0.999950292882853 × 6371000     		du = 1221.57852583468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00977897)-sin(-0.00997071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9999521862539-0.999950292882853)×R²
    abs(0.00882039-0.00862864)×1.89337104716802e-06×R²
    0.000191749999999999×1.89337104716802e-06×6371000²
    0.000191749999999999×1.89337104716802e-06×40589641000000     		ar = 1492251.86468283m²