Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16427 / 16297
↖ ↑ ↗
← N 79.216136°
W134.881897°		 ← 57.13 m → N 79.216136°
W134.879151°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.215622°
W134.881897°		 ← 57.14 m →
3 265 m²		 N 79.215622°
W134.879151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125331878662109 y=0.124340057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125331878662109 × 217)
    floor (0.125331878662109 × 131072)
    floor (16427.5)     		tx = 16427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124340057373047 × 217)
    floor (0.124340057373047 × 131072)
    floor (16297.5)     		ty = 16297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16427 / 16297 ti = "17/16427/16297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16427/16297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16427 ÷ 217
    16427 ÷ 131072     		x = 0.125328063964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16297 ÷ 217
    16297 ÷ 131072     		y = 0.124336242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125328063964844 × 2 - 1) × π
    -0.749343872070312 × 3.1415926535     		Λ = -2.35413320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124336242675781 × 2 - 1) × π
    0.751327514648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.36036500039194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35413320} λ = -2.35413320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36036500039194))-π/2
    2×atan(10.5948178594421)-π/2
    2×1.47668935599124-π/2
    2.95337871198248-1.57079632675     		φ = 1.38258239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35413320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.881897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38258239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.216136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16427 KachelY 16297 -2.35413320 1.38258239 -134.881897 79.216136
    Oben rechts KachelX + 1 16428 KachelY 16297 -2.35408527 1.38258239 -134.879151 79.216136
    Unten links KachelX 16427 KachelY + 1 16298 -2.35413320 1.38257342 -134.881897 79.215622
    Unten rechts KachelX + 1 16428 KachelY + 1 16298 -2.35408527 1.38257342 -134.879151 79.215622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38258239-1.38257342) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dl = 57.1478700006884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38258239-1.38257342) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dr = 57.1478700006884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35413320--2.35408527) × cos(1.38258239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187104673045496 × 6371000     		do = 57.134662783694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35413320--2.35408527) × cos(1.38257342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187113484627613 × 6371000     		du = 57.1373535062965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38258239)-sin(1.38257342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187104673045496-0.187113484627613)×R²
    abs(-2.35408527--2.35413320)×8.81158211618605e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.81158211618605e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.81158211618605e-06×40589641000000     		ar = 3265.20116591799m²