Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16424 / 8038
↖ ↑ ↗
← N 67.178479°
E  0.439453°		 ← 473.83 m → N 67.178479°
E  0.450439°		 →
↑
473.87 m
↓
↑
473.87 m
↓
N 67.174217°
E  0.439453°		 ← 473.91 m →
224 555 m²		 N 67.174217°
E  0.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501235961914062 y=0.245315551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501235961914062 × 215)
    floor (0.501235961914062 × 32768)
    floor (16424.5)     		tx = 16424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245315551757812 × 215)
    floor (0.245315551757812 × 32768)
    floor (8038.5)     		ty = 8038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16424 / 8038 ti = "15/16424/8038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16424/8038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16424 ÷ 215
    16424 ÷ 32768     		x = 0.501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8038 ÷ 215
    8038 ÷ 32768     		y = 0.24530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501220703125 × 2 - 1) × π
    0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24530029296875 × 2 - 1) × π
    0.5093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60032545691595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00766990} λ = 0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60032545691595))-π/2
    2×atan(4.9546446853991)-π/2
    2×1.37164098443624-π/2
    2.74328196887248-1.57079632675     		φ = 1.17248564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17248564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.178479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16424 KachelY 8038 0.00766990 1.17248564 0.439453 67.178479
    Oben rechts KachelX + 1 16425 KachelY 8038 0.00786165 1.17248564 0.450439 67.178479
    Unten links KachelX 16424 KachelY + 1 8039 0.00766990 1.17241126 0.439453 67.174217
    Unten rechts KachelX + 1 16425 KachelY + 1 8039 0.00786165 1.17241126 0.450439 67.174217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17248564-1.17241126) × R
    7.43800000000405e-05 × 6371000     		dl = 473.874980000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17248564-1.17241126) × R
    7.43800000000405e-05 × 6371000     		dr = 473.874980000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00766990-0.00786165) × cos(1.17248564) × R
    0.000191749999999999 × 0.387861826892005 × 6371000     		do = 473.827231307977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00766990-0.00786165) × cos(1.17241126) × R
    0.000191749999999999 × 0.387930383168847 × 6371000     		du = 473.910982346601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17248564)-sin(1.17241126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387861826892005-0.387930383168847)×R²
    abs(0.00786165-0.00766990)×6.85562768424908e-05×R²
    0.000191749999999999×6.85562768424908e-05×6371000²
    0.000191749999999999×6.85562768424908e-05×40589641000000     		ar = 224554.713624114m²