Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16424 / 16411
↖ ↑ ↗
← N 79.157394°
W134.890136°		 ← 57.44 m → N 79.157394°
W134.887390°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.156877°
W134.890136°		 ← 57.44 m →
3 301 m²		 N 79.156877°
W134.887390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125308990478516 y=0.125209808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125308990478516 × 217)
    floor (0.125308990478516 × 131072)
    floor (16424.5)     		tx = 16424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125209808349609 × 217)
    floor (0.125209808349609 × 131072)
    floor (16411.5)     		ty = 16411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16424 / 16411 ti = "17/16424/16411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16424/16411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16424 ÷ 217
    16424 ÷ 131072     		x = 0.12530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16411 ÷ 217
    16411 ÷ 131072     		y = 0.125205993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.7493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35427701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125205993652344 × 2 - 1) × π
    0.749588012695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.35490019383526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35427701} λ = -2.35427701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35490019383526))-π/2
    2×atan(10.5370771439551)-π/2
    2×1.4761767359282-π/2
    2.95235347185641-1.57079632675     		φ = 1.38155715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35427701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.890136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38155715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.157394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16424 KachelY 16411 -2.35427701 1.38155715 -134.890136 79.157394
    Oben rechts KachelX + 1 16425 KachelY 16411 -2.35422908 1.38155715 -134.887390 79.157394
    Unten links KachelX 16424 KachelY + 1 16412 -2.35427701 1.38154813 -134.890136 79.156877
    Unten rechts KachelX + 1 16425 KachelY + 1 16412 -2.35422908 1.38154813 -134.887390 79.156877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38155715-1.38154813) × R
    9.01999999980418e-06 × 6371000     		dl = 57.4664199987525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38155715-1.38154813) × R
    9.01999999980418e-06 × 6371000     		dr = 57.4664199987525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35427701--2.35422908) × cos(1.38155715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188111708778326 × 6371000     		do = 57.4421732593537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35427701--2.35422908) × cos(1.38154813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188120567742378 × 6371000     		du = 57.4448784506003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38155715)-sin(1.38154813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188111708778326-0.188120567742378)×R²
    abs(-2.35422908--2.35427701)×8.85896405208864e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.85896405208864e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.85896405208864e-06×40589641000000     		ar = 3301.07378308512m²