Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16422 / 8040
↖ ↑ ↗
← N 67.169955°
E  0.417481°		 ← 473.99 m → N 67.169955°
E  0.428467°		 →
↑
474 m
↓
↑
474 m
↓
N 67.165692°
E  0.417481°		 ← 474.08 m →
224 694 m²		 N 67.165692°
E  0.428467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501174926757812 y=0.245376586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501174926757812 × 215)
    floor (0.501174926757812 × 32768)
    floor (16422.5)     		tx = 16422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245376586914062 × 215)
    floor (0.245376586914062 × 32768)
    floor (8040.5)     		ty = 8040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16422 / 8040 ti = "15/16422/8040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16422/8040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16422 ÷ 215
    16422 ÷ 32768     		x = 0.50115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8040 ÷ 215
    8040 ÷ 32768     		y = 0.245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50115966796875 × 2 - 1) × π
    0.0023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00728641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245361328125 × 2 - 1) × π
    0.50927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59994196171899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00728641} λ = 0.00728641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59994196171899))-π/2
    2×atan(4.95274496724928)-π/2
    2×1.37156659971727-π/2
    2.74313319943453-1.57079632675     		φ = 1.17233687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00728641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17233687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.169955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16422 KachelY 8040 0.00728641 1.17233687 0.417481 67.169955
    Oben rechts KachelX + 1 16423 KachelY 8040 0.00747816 1.17233687 0.428467 67.169955
    Unten links KachelX 16422 KachelY + 1 8041 0.00728641 1.17226247 0.417481 67.165692
    Unten rechts KachelX + 1 16423 KachelY + 1 8041 0.00747816 1.17226247 0.428467 67.165692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17233687-1.17226247) × R
    7.4400000000141e-05 × 6371000     		dl = 474.002400000898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17233687-1.17226247) × R
    7.4400000000141e-05 × 6371000     		dr = 474.002400000898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00728641-0.00747816) × cos(1.17233687) × R
    0.00019175 × 0.387998946516108 × 6371000     		do = 473.994742022728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00728641-0.00747816) × cos(1.17226247) × R
    0.00019175 × 0.388067516932541 × 6371000     		du = 474.078510334832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17233687)-sin(1.17226247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387998946516108-0.388067516932541)×R²
    abs(0.00747816-0.00728641)×6.85704164337109e-05×R²
    0.00019175×6.85704164337109e-05×6371000²
    0.00019175×6.85704164337109e-05×40589641000000     		ar = 224694.498601378m²