Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16419 / 16348
↖ ↑ ↗
← N 79.189895°
W134.903870°		 ← 57.28 m → N 79.189895°
W134.901123°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.189380°
W134.903870°		 ← 57.29 m →
3 285 m²		 N 79.189380°
W134.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125270843505859 y=0.124729156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125270843505859 × 217)
    floor (0.125270843505859 × 131072)
    floor (16419.5)     		tx = 16419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124729156494141 × 217)
    floor (0.124729156494141 × 131072)
    floor (16348.5)     		ty = 16348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16419 / 16348 ti = "17/16419/16348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16419/16348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16419 ÷ 217
    16419 ÷ 131072     		x = 0.125267028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16348 ÷ 217
    16348 ÷ 131072     		y = 0.124725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125267028808594 × 2 - 1) × π
    -0.749465942382812 × 3.1415926535     		Λ = -2.35451670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124725341796875 × 2 - 1) × π
    0.75054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35792021851132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35451670} λ = -2.35451670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35792021851132))-π/2
    2×atan(10.5689474773171)-π/2
    2×1.4764603660744-π/2
    2.9529207321488-1.57079632675     		φ = 1.38212441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35451670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.903870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38212441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.189895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16419 KachelY 16348 -2.35451670 1.38212441 -134.903870 79.189895
    Oben rechts KachelX + 1 16420 KachelY 16348 -2.35446876 1.38212441 -134.901123 79.189895
    Unten links KachelX 16419 KachelY + 1 16349 -2.35451670 1.38211541 -134.903870 79.189380
    Unten rechts KachelX + 1 16420 KachelY + 1 16349 -2.35446876 1.38211541 -134.901123 79.189380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38212441-1.38211541) × R
    9.00000000014778e-06 × 6371000     		dl = 57.3390000009415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38212441-1.38211541) × R
    9.00000000014778e-06 × 6371000     		dr = 57.3390000009415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35451670--2.35446876) × cos(1.38212441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187554545472781 × 6371000     		do = 57.2839858413503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35451670--2.35446876) × cos(1.38211541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187563385752889 × 6371000     		du = 57.2866858904441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38212441)-sin(1.38211541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187554545472781-0.187563385752889)×R²
    abs(-2.35446876--2.35451670)×8.84028010811333e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84028010811333e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84028010811333e-06×40589641000000     		ar = 3284.68387330297m²