Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1641 / 853
↖ ↑ ↗
← N 28.767659°
E108.457031°		 ← 17.134 km → N 28.767659°
E108.632812°		 →
↑
17.146 km
↓
↑
17.146 km
↓
N 28.613460°
E108.457031°		 ← 17.159 km →
293.993 km²		 N 28.613460°
E108.632812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801513671875 y=0.416748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801513671875 × 211)
    floor (0.801513671875 × 2048)
    floor (1641.5)     		tx = 1641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416748046875 × 211)
    floor (0.416748046875 × 2048)
    floor (853.5)     		ty = 853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1641 / 853 ti = "11/1641/853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1641/853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1641 ÷ 211
    1641 ÷ 2048     		x = 0.80126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 853 ÷ 211
    853 ÷ 2048     		y = 0.41650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80126953125 × 2 - 1) × π
    0.6025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89293229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89293229} λ = 1.89293229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524621429441894))-π/2
    2×atan(1.68981901154874)-π/2
    2×1.0364433481337-π/2
    2.07288669626739-1.57079632675     		φ = 0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89293229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.457031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1641 KachelY 853 1.89293229 0.50209037 108.457031 28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 1642 KachelY 853 1.89600025 0.50209037 108.632812 28.767659
    Unten links KachelX 1641 KachelY + 1 854 1.89293229 0.49939908 108.457031 28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 1642 KachelY + 1 854 1.89600025 0.49939908 108.632812 28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50209037-0.49939908) × R
    0.00269129000000001 × 6371000     		dl = 17146.2085900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50209037-0.49939908) × R
    0.00269129000000001 × 6371000     		dr = 17146.2085900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89293229-1.89600025) × cos(0.50209037) × R
    0.00306795999999987 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 17133.5792178347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89293229-1.89600025) × cos(0.49939908) × R
    0.00306795999999987 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 17158.8332273984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50209037)-sin(0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.877870499818039)×R²
    abs(1.89600025-1.89293229)×0.00129203132312916×R²
    0.00306795999999987×0.00129203132312916×6371000²
    0.00306795999999987×0.00129203132312916×40589641000000     		ar = 293992605.870224m²