Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16400 / 15503
↖ ↑ ↗
← N 79.616633°
W134.956055°		 ← 55.05 m → N 79.616633°
W134.953308°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.616138°
W134.956055°		 ← 55.05 m →
3 030 m²		 N 79.616138°
W134.953308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125125885009766 y=0.118282318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125125885009766 × 217)
    floor (0.125125885009766 × 131072)
    floor (16400.5)     		tx = 16400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118282318115234 × 217)
    floor (0.118282318115234 × 131072)
    floor (15503.5)     		ty = 15503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16400 / 15503 ti = "17/16400/15503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16400/15503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16400 ÷ 217
    16400 ÷ 131072     		x = 0.1251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15503 ÷ 217
    15503 ÷ 131072     		y = 0.118278503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.749755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35542750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118278503417969 × 2 - 1) × π
    0.763442993164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.39842689869027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35542750} λ = -2.35542750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39842689869027))-π/2
    2×atan(11.0058494395299)-π/2
    2×1.48018436054585-π/2
    2.96036872109171-1.57079632675     		φ = 1.38957239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35542750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38957239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.616633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16400 KachelY 15503 -2.35542750 1.38957239 -134.956055 79.616633
    Oben rechts KachelX + 1 16401 KachelY 15503 -2.35537956 1.38957239 -134.953308 79.616633
    Unten links KachelX 16400 KachelY + 1 15504 -2.35542750 1.38956375 -134.956055 79.616138
    Unten rechts KachelX + 1 16401 KachelY + 1 15504 -2.35537956 1.38956375 -134.953308 79.616138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38957239-1.38956375) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dl = 55.0454400007341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38957239-1.38956375) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dr = 55.0454400007341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35542750--2.35537956) × cos(1.38957239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180233601526172 × 6371000     		do = 55.0479811189603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35542750--2.35537956) × cos(1.38956375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18024210002938 × 6371000     		du = 55.0505767805914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38957239)-sin(1.38956375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180233601526172-0.18024210002938)×R²
    abs(-2.35537956--2.35542750)×8.49850320766565e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.49850320766565e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.49850320766565e-06×40589641000000     		ar = 3030.21178144231m²