Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 164 / 98
↖ ↑ ↗
← N 80.983688°
W122.343750°		 ← 6 126.33 m → N 80.983688°
W121.992187°		 →
↑
6 144.89 m
↓
↑
6 144.89 m
↓
N 80.928426°
W122.343750°		 ← 6 163.57 m →
37 760 050 m²		 N 80.928426°
W121.992187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16064453125 y=0.09619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16064453125 × 210)
    floor (0.16064453125 × 1024)
    floor (164.5)     		tx = 164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09619140625 × 210)
    floor (0.09619140625 × 1024)
    floor (98.5)     		ty = 98
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 164 / 98 ti = "10/164/98"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/164/98.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 164 ÷ 210
    164 ÷ 1024     		x = 0.16015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98 ÷ 210
    98 ÷ 1024     		y = 0.095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16015625 × 2 - 1) × π
    -0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095703125 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13530126} λ = -2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54027218466602))-π/2
    2×atan(12.6831226525684)-π/2
    2×1.49211416408574-π/2
    2.98422832817148-1.57079632675     		φ = 1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 164 KachelY 98 -2.13530126 1.41343200 -122.343750 80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 165 KachelY 98 -2.12916533 1.41343200 -121.992187 80.983688
    Unten links KachelX 164 KachelY + 1 99 -2.13530126 1.41246749 -122.343750 80.928426
    Unten rechts KachelX + 1 165 KachelY + 1 99 -2.12916533 1.41246749 -121.992187 80.928426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41343200-1.41246749) × R
    0.000964509999999974 × 6371000     		dl = 6144.89320999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41343200-1.41246749) × R
    0.000964509999999974 × 6371000     		dr = 6144.89320999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13530126--2.12916533) × cos(1.41343200) × R
    0.00613592999999968 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 6126.32967390748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13530126--2.12916533) × cos(1.41246749) × R
    0.00613592999999968 × 0.157668167000313 × 6371000     		du = 6163.56556578761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41343200)-sin(1.41246749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.157668167000313)×R²
    abs(-2.12916533--2.13530126)×0.000952519245021183×R²
    0.00613592999999968×0.000952519245021183×6371000²
    0.00613592999999968×0.000952519245021183×40589641000000     		ar = 37760049.8322736m²