Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16397 / 19120
↖ ↑ ↗
← S 28.767659°
E  0.142822°		 ← 1 070.86 m → S 28.767659°
E  0.153809°		 →
↑
1 070.77 m
↓
↑
1 070.77 m
↓
S 28.777289°
E  0.142822°		 ← 1 070.76 m →
1 146 599 m²		 S 28.777289°
E  0.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500411987304688 y=0.583511352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500411987304688 × 215)
    floor (0.500411987304688 × 32768)
    floor (16397.5)     		tx = 16397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583511352539062 × 215)
    floor (0.583511352539062 × 32768)
    floor (19120.5)     		ty = 19120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16397 / 19120 ti = "15/16397/19120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16397/19120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16397 ÷ 215
    16397 ÷ 32768     		x = 0.500396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19120 ÷ 215
    19120 ÷ 32768     		y = 0.58349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500396728515625 × 2 - 1) × π
    0.00079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00249272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00249272} λ = 0.00249272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524621429441894))-π/2
    2×atan(0.591779352206179)-π/2
    2×0.534352978661201-π/2
    1.0687059573224-1.57079632675     		φ = -0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00249272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16397 KachelY 19120 0.00249272 -0.50209037 0.142822 -28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 16398 KachelY 19120 0.00268447 -0.50209037 0.153809 -28.767659
    Unten links KachelX 16397 KachelY + 1 19121 0.00249272 -0.50225844 0.142822 -28.777289
    Unten rechts KachelX + 1 16398 KachelY + 1 19121 0.00268447 -0.50225844 0.153809 -28.777289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50209037--0.50225844) × R
    0.000168069999999965 × 6371000     		dl = 1070.77396999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50209037--0.50225844) × R
    0.000168069999999965 × 6371000     		dr = 1070.77396999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00249272-0.00268447) × cos(-0.50209037) × R
    0.00019175 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 1070.86266281827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00249272-0.00268447) × cos(-0.50225844) × R
    0.00019175 × 0.876497570920949 × 6371000     		du = 1070.76383516669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50209037)-sin(-0.50225844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.876497570920949)×R²
    abs(0.00268447-0.00249272)×8.08975739600148e-05×R²
    0.00019175×8.08975739600148e-05×6371000²
    0.00019175×8.08975739600148e-05×40589641000000     		ar = 1146598.95645107m²