Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16390 / 81900
↖ ↑ ↗
← S 40.938415°
W134.983521°		 ← 230.72 m → S 40.938415°
W134.980774°		 →
↑
230.69 m
↓
↑
230.69 m
↓
S 40.940490°
W134.983521°		 ← 230.72 m →
53 226 m²		 S 40.940490°
W134.980774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125049591064453 y=0.624851226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125049591064453 × 217)
    floor (0.125049591064453 × 131072)
    floor (16390.5)     		tx = 16390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624851226806641 × 217)
    floor (0.624851226806641 × 131072)
    floor (81900.5)     		ty = 81900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16390 / 81900 ti = "17/16390/81900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16390/81900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16390 ÷ 217
    16390 ÷ 131072     		x = 0.125045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81900 ÷ 217
    81900 ÷ 131072     		y = 0.624847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125045776367188 × 2 - 1) × π
    -0.749908447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35590687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.24969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.784439425382599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35590687} λ = -2.35590687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784439425382599))-π/2
    2×atan(0.456375462592768)-π/2
    2×0.428143097633136-π/2
    0.856286195266272-1.57079632675     		φ = -0.71451013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35590687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.983521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71451013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.938415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16390 KachelY 81900 -2.35590687 -0.71451013 -134.983521 -40.938415
    Oben rechts KachelX + 1 16391 KachelY 81900 -2.35585893 -0.71451013 -134.980774 -40.938415
    Unten links KachelX 16390 KachelY + 1 81901 -2.35590687 -0.71454634 -134.983521 -40.940490
    Unten rechts KachelX + 1 16391 KachelY + 1 81901 -2.35585893 -0.71454634 -134.980774 -40.940490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71451013--0.71454634) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dl = 230.693909999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71451013--0.71454634) × R
    3.6209999999981e-05 × 6371000     		dr = 230.693909999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35590687--2.35585893) × cos(-0.71451013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755414317901776 × 6371000     		do = 230.722977051594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35590687--2.35585893) × cos(-0.71454634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755390590896724 × 6371000     		du = 230.715730213518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71451013)-sin(-0.71454634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755414317901776-0.755390590896724)×R²
    abs(-2.35585893--2.35590687)×2.37270050521543e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37270050521543e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37270050521543e-05×40589641000000     		ar = 53225.5498080644m²